11.06.201708.07.2017 von Harald Grohganz

Beispielaufgabe

Definitionen

Eine Gruppe ist ein Paar $(G, *)$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung $*$ auf $G$ . Das heißt, durch $*$ wird die Abbildung $* : G \times G \to G$ , $(a,b) \mapsto a * b$ beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird $(G,*)$ Gruppe genannt:

$\begin{align*} \text{Assoziativit\"at:}\quad &\forall a, b, c \in G: (a* b) * c = a * (b * c) \\ \text{Neutrales Element:}\quad &\exists e\in G: \forall a\in G: a * e = e * a = a \\ \text{Inverses Element:}\quad &\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \end{align*}$

Gilt zusätzlich

$\begin{align*} \text{Kommutativit\"at:}\quad &\forall a, b \in G: a*b = b*a \, , \end{align*}$

so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Oftmals schreiben wir kurz $ab$ für das Element $a* b$ und $G := (G,*)$ für die Gruppe.

Unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements $g \in G$ versteht man die kleinste natürliche Zahl $n > 0$ , für die $g^{n}=e$ gilt.

Übungsaufgabe

Zeige, dass eine Gruppe, in der jedes Element (außer $e$ ) die Ordnung $2$ hat, abelsch ist.

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Autor

Harald Grohganz

Das ist eine testweise Antwort der Übungsaufgabe oben:
Zu zeigen ist, dass für zwei beliebige Elemente $g,h \in G$ gilt: $gh = hg$ .

Wir zeigen zunächst, dass in jeder beliebigen Gruppe die Gleichung $(gh)^{-1} = h^{-1} g^{-1}$ gilt:

$\begin{align*} (gh)^{-1} &= e(gh)^{-1} = h^{-1}h (gh)^{-1} = h^{-1} e h (gh)^{-1} \\ &= h^{-1}(g^{-1}g) h (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}(gh)(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} e \\ &= h^{-1}g^{-1}. \end{align*}$

Damit und der Information, dass alle Elemente in $G$ Ordnung $2$ haben, folgt:

$gh = (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} = hg,$

wobei wir beim ersten Schritt genutzt haben, dass $\operatorname {ord}(gh)=2$ und beim letzten, dass die Ordnung von $g$ und $h$ ebenfalls $2$ ist. $\square$

Das Ding hat noch zwei offene Baustellen:

keine Live-TeX-Vorschau! Ich muss den Kommentar erst abschicken und sehe erst danach, ob mein TeX-Code funktioniert.
Backslash-Amnesie: Bei jeder Editierung fliegen die Backslashes raus. Das ist bei TeX eher doof – Abhilfe schafft vorläufig, alle Backslashes durch doppelte zu ersetzen – dann überlebt einer der beiden

Mitglied

Testuser

Das hier ist ein weiterer Test-Text. Jetzt möchte ich gerne $\text{[math]}$ verwenden und hätte gerne eine Vorschau…
Wenigstens kann ich das Ding nun editieren. Der Admin auch 🙂