08.07.201702.09.2017 von Stefan Hartmann

Verständnisfrage 4 – Thema: Äquivalenzklassen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $X$ .

Für jedes $x \in X$ ist die Menge $B(x)=\{y \in X \, \vert \, \text{es gilt nicht} \ y \sim x\}$ eine Äquivalenzklasse von $\sim$ .
Wenn $\sim$ nur zwei Äquivalenzklassen hat, so ist $B(x)$ eine Äquivalenzklasse.
Wenn es ein $x \in X$ gibt, so dass $B(x)$ eine Äquivalenzklasse ist, so hat $\sim$ nur zwei Äquivalenzklassen.
Für alle $x_1,x_2,x_3 \in X$ gilt: Wenn weder $x_1 \sim x_2$ noch $x_2 \sim x_3$ gilt, so gilt auch nicht $x_1 \sim x_3$ .
Für alle $x_1,x_2,x_3 \in X$ gilt: Wenn weder $x_1 \sim x_2$ noch $x_2 \sim x_3$ gilt, so gilt jedenfalls $x_1 \sim x_3$ .

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Mitglied

Gesine

Die Aussage 1 gilt nur, wenn es genau zwei Äquvalenzklassen gibt, dementsprechend sind die Aussagen 2 und 3 richtig.
Die Aussage 4 ist falsch, denn wenn zum Beispiel gilt x1=x3, dann gilt auch x1~x3.
Die Aussage 5 ist falsch, da x1, x2 und x3 in 3 verschiedenen Äquivalenzklassen stehen können. Dann gilt nicht x1~x3.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt! 👍

Mitglied

Iris

B(x) enthält alle Elemente aus X, die nicht zur Äquivalenzklasse von x gehören. Diese Elemente bilden genau dann eine Äquivalenzklasse, wenn es nur zwei Äquivalenzklassen gibt. Also ist die erste Aussage falsch, Aussage 2 und 3 sind richtig.
Die Aussagen 4 und 5 sind falsch; wenn weder $x1 \sim x2$ noch $x2 \sim x3$ gilt, kann man über $x1 \sim x3$ keine Aussage machen. Lediglich wenn $\sim$ genau zwei Äquivalenzklassen hat, stimmt $x1 \sim x3$ .

Autor

Stefan Hartmann

Du hast das Konzept hervorragend verstanden. Bei 4 und 5 wäre es aber besser, wieder konkrete Gegenbeispiele anzugeben. „Man kann keine Aussage machen“ ist zu schwach für eine Widerlegung.

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