Aufgabe 12

Zeigen Sie den Satz über die Bijektivität invertierbarer Abbildungen:

Sei $f:X \to Y$ eine Abbildung. Wenn es eine Abbildung $f':Y \to X$ gibt, so dass gilt

$f \circ f' = id_Y$ und $f' \circ f = id_X$ ,

dann ist $f$ bijektiv.

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Mitglied

Iris

Wenn für zwei Elemente $x_1, x_2 \in X$ gilt: $f(x_1)=f(x_2)$ , dann ist auch $f' \circ f(x_1) = f' \circ f(x_2)$ . Wegen $f' \circ f = id_X$ folgt $x_1 = x_2$ . Damit ist $f$ injektiv, denn aus $f(x_1) = f(x_2)$ folgt $x_1 = x_2$ .
Aus $f \circ f'(y) = y$ folgt $y \in$ Bild $(f)$ . Wegen $f \circ f' = id_Y$ muss das für alle $y \in Y$ gelten, also ist $Y \subseteq$ Bild $(f)$ . Da alle $y \in Y$ in Bild $(f)$ enthalten sind, ist $f$ surjektiv. Also ist $f$ injektiv und surjektiv und damit auch bijektiv.

Autor

Stefan Hartmann

Richtig. Der Beweis $Y \subset$ Bild $(f)$ ist etwas umständlich aufgeschrieben (schreib einfach knapper: für $y \in Y$ ist $y=f(f'(y)) \in$ Bild $(f)$ ) , aber dennoch korrekt.

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