Sei 
eine Abbildung einer Menge 
in eine Menge 
. Zeigen Sie:
(a) Wenn endlich ist, so gilt: ist injektiv 
hat genau 
Bilder
(b) Sind und endlich und ist 
, so gilt:
ist injektiv ist surjektiv.
(c) (Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität) Wenn eine Abbildung einer endlichen Menge in sich ist, so gilt:
ist injektiv ist surjektiv . ist bijektiv
(d) Zeigen Sie, dass die Aussage (c) falsch ist, wenn eine unendliche Menge ist. [Wählen Sie zum Beispiel 
.]
(a) Die Abbildung ordnet jedem der Elemente aus genau ein Bild zu. Wenn injektiv ist, sind alle Bilder von unterschiedlich, also hat die Abbildung insgesamt genau Bilder. Eine Abbildung kann auch nur dann injektiv sein, wenn sie Bilder hat, denn bei weniger Bildern könnte nicht jedem Element von ein anderes Bild zugeordnet werden und wäre nicht injektiv. Mehr als Bilder kann auf keinen Fall haben, weil jedem der Urbilder genau ein Bild zugeordnet wird. (b) Wenn die Abbildung injektiv ist, hat sie Bilder. Wegen hat die Abbildung genau Bilder, müssen alle Elemente in Bilder von sein. Also ist surjektiv. Umgekehrt hat genau Bilder, wenn sie surjektiv ist. Da gilt, hat die Abbildung genau Bilder und ist damit injektiv. (c) Definitions- und Bildbereich sind die gleiche Menge und damit gleichmächtig, also gilt die Aussage aus b): ist injektiv ist surjektiv. Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Die Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist, dann ist sie auch bijektiv. Wenn bijektiv ist, folgen Injektivität und Surjektivität direkt aus der Definition von bijektiv. (d) Für unendliche Mengen ist die Aussage falsch, weil eine unendliche Menge gleichmächtig mit einer echten Teilmenge sein kann. Beispielsweise ist mit injektiv,… Read more »
Sehr gut! Auch gut aufgeschrieben.