Hinterlasse einen Kommentar

2 Kommentare auf "Aufgabe 16"

Benachrichtige mich zu:
Iris
Mitglied
Iris

(a) Angenommen, die Menge aller Primzahlen wäre endlich. Dann ist das Produkt p aller Primzahlen endlich und eine natürliche Zahl, ebenso wie p+1. Wenn p+1 prim ist, dann ist es eine Primzahl, die in der Menge fehlt. Wenn p+1 nicht prim ist, dann gibt es eine Primzahl, die p+1 teilt. Diese Primzahl kann aber auch nicht zu der ursprünglich angenommenen Menge gehören, denn dann wäre sie auch ein Teiler von p und müsste deshalb auch p+1-p=1 teilen, was nicht möglich ist. Folglich ist die endliche Menge von Primzahlen in jedem Fall unvollständig.

(b) Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich. Aus (a) folgt, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich ist, also mindestens abzählbar unendlich. Sie kann aber nicht überabzählbar sein, denn aus \mathbb{P} \subset \mathbb{Z} folgt |\mathbb{P}| \leq |\mathbb{Z}|. Also ist \mathbb{P} ebenso wie \mathbb{Z} abzählbar unendlich und die beiden Mengen sind gleichmächtig.