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2 Kommentare auf "Aufgabe 17"

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Iris
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Iris

Um eine Bijektion zwischen natürlichen und rationalen Zahlen zu erhalten, ordnet man alle positiven Brüche so in einer Tabelle an, dass der Zähler der Zeile und der Nenner der Spalte entspricht (beispielsweise steht in der vierten Zeile der dritten Spalte \frac{4}{3}). Anschließend listet man die Brüche in dieser Reihenfolge auf: a_{11},a_{12},a_{21},a_{31},a_{22}, a_{13},a_{14},a_{23} \dots. Dann werden alle nicht vollständig gekürzten Brüche entfernt. In der Liste kommt nun jede positive rationale Zahl genau einmal vor. Jetzt wird hinter jeder positiven Zahl das Produkt dieser Zahl mit -1 eingefügt und 0 kommt an den Anfang der Liste. Dadurch erhält man eine Abzählung aller rationalen Zahlen. Die Abzählung wird durchnummeriert, man ordnet also jeder rationalen eine natürliche Zahl zu: 0\leftrightarrow 0, 1 \leftrightarrow 1, 2 \leftrightarrow -1, 3 \leftrightarrow \frac{1}{2}, 4 \leftrightarrow -\frac{1}{2} \dots. Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen \mathbb{N} und \mathbb{Q}, also müssen diese Mengen gleichmächtig sein.