Aufgabe 24

Beweisen Sie (mit Induktion):

$1^3+2^3+3^3+\ldots + n^3= (1+2+3+\ldots + n)^2$ .

Drücken Sie diese Gleichung auch verbal aus (Also etwa:“Die Summe der ersten $n$ hm-hm-Zahlen ist gleich…“).

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Mitglied

Iris

Zunächst beweise ich die Gaußsche Summenformel: $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ .
Induktionsanfang: Für $n=1$ gilt die Formel, denn $\sum\limits_{i=1}^1 i = 1 = \frac{2}{2} = \frac{1(1+1)}{2}$ .
Induktionsannahme: Die Formel gilt für $n=k$ .
Induktionsbehauptung: Die Formel gilt für $n=k+1$ .
Induktionsschritt:
$\sum\limits_{i=1}^k i = \frac{k(k+1)}{2} \\ \sum\limits_{i=1}^k i + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \\ \sum\limits_{i=1}^{k+1} i = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
Jetzt ist noch $\sum\limits_{i=1}^n i^3 = \Big( \frac{n(n+1)}{2} \Big) ^2$ zu zeigen.
Induktionsanfang: Für $n=1$ stimmt die Gleichung, denn $\sum\limits_{i=1}^1 i^3 = 1 = \big( \frac{1\cdot2}{2} \big) ^2$
Induktionsannahme: Die Gleichung gilt für $n=k-1$ .
Induktionsbehauptung: Die Gleichung gilt für $n=k$ .
Induktionsschritt:
$\sum\limits_{i=1}^{k-1} i^3 = \Big( \frac{(k-1)k}{2} \Big) ^2 = \frac{(k^2-2k+1)k^2}{4} = \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} \\ \sum\limits_{i=1}^{k-1} i^3 + k^3 = \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} + k^3 \\ \sum\limits_{i=1}^{k} i^3 = \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} + \frac{4k^3}{4} = \frac{k^4+2k^3+k^2}{4} = \frac{(k^2+2k+1)k^2}{4} = \Big( \frac{(k+1)k}{2} \Big) ^2$
Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten $n$ Quadratzahlen.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt! 👍

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