Aufgabe 24

Beweisen Sie (mit Induktion):

1^3+2^3+3^3+\ldots + n^3= (1+2+3+\ldots + n)^2.

Drücken Sie diese Gleichung auch verbal aus (Also etwa:“Die Summe der ersten n hm-hm-Zahlen ist gleich…“).

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2 Kommentare auf "Aufgabe 24"

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Iris
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Iris

Zunächst beweise ich die Gaußsche Summenformel: \sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.
Induktionsanfang: Für n=1 gilt die Formel, denn \sum\limits_{i=1}^1 i = 1 = \frac{2}{2} = \frac{1(1+1)}{2}.
Induktionsannahme: Die Formel gilt für n=k.
Induktionsbehauptung: Die Formel gilt für n=k+1.
Induktionsschritt:
\sum\limits_{i=1}^k i = \frac{k(k+1)}{2} \\ \sum\limits_{i=1}^k i  + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \\ \sum\limits_{i=1}^{k+1} i = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
Jetzt ist noch \sum\limits_{i=1}^n i^3 = \Big( \frac{n(n+1)}{2} \Big) ^2 zu zeigen.
Induktionsanfang: Für n=1 stimmt die Gleichung, denn \sum\limits_{i=1}^1 i^3 = 1 = \big( \frac{1\cdot2}{2} \big) ^2
Induktionsannahme: Die Gleichung gilt für n=k-1.
Induktionsbehauptung: Die Gleichung gilt für n=k.
Induktionsschritt:
\sum\limits_{i=1}^{k-1} i^3 = \Big( \frac{(k-1)k}{2} \Big) ^2 = \frac{(k^2-2k+1)k^2}{4} = \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} \\ \sum\limits_{i=1}^{k-1} i^3 + k^3 =  \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} + k^3 \\ \sum\limits_{i=1}^{k} i^3 =  \frac{k^4-2k^3+k^2}{4} + \frac{4k^3}{4} =  \frac{k^4+2k^3+k^2}{4} = \frac{(k^2+2k+1)k^2}{4} = \Big( \frac{(k+1)k}{2} \Big) ^2
Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der Summe der ersten n Quadratzahlen.