Aufgabe 4

Geben Sie Beispiele von Relationen auf einer Menge $X$ an, die

reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv,
symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv

sind.

4

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Mitglied

Iris

Alle Relationen sind auf der Menge der ganzen Zahlen definiert.
reflexiv, symmetrisch, nicht transitiv:
$x~y \Leftrightarrow |x-y| \in \mathbb{Z} ^2$
symmetrisch, transitiv, nicht reflexiv:
$x~y \Leftrightarrow x,y \in 2 \mathbb{Z}$
reflexiv, transitiv, nicht symmetrisch:
$x~y \Leftrightarrow x \le y$
weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv:
$x~y \Leftrightarrow x + 2y \in \mathbb{P}$

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Iris, zunächst: Das Symbol für „ist äquivalent zu“ ist \sim. Das kannst du ja vielleicht demnächst verwenden. 🙂 Dein erstes Gegenbeispiel verstehe ich nicht. Warum $\mathbb{Z}^2$ ? Warum Beträge? Kannst du das bitte genauer ausführen? Die anderen Beispiele sind korrekt.

Mitglied

Iris

Der Betrag ist notwendig, damit die Relation symmetrisch ist wegen $|x-y| = |y-x|$ .
Wenn der Betrag der Differenz eine Quadratzahl sein muss, ist die Relation nicht transitiv; beispielsweise ist $|5-1| = 4 = 2^2 \Rightarrow 5 \sim 1$ und $|1-10| = 9 = 3^2 \Rightarrow 1 \sim 10$ , aber $5 \nsim 10$

Autor

Stefan Hartmann

Ach so, du meintest mit $\mathbb{Z}^2$ die Menge aller Quadratzahlen. Dann ist alles klar und richtig. Die Notation ist ungewöhnlich (stand sie so im Buch?). Normalerweise wird mit $\mathbb{Z}^2$ die Menge $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ bezeichnet, also die Menge aller Paare $(x,y)$ mit $x, y\in \mathbb{Z}$ , daher war ich total verwirrt. 😊

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