Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:
(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.
(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.
Ein Projekt der Blue Square Group e. V.
a) Jede Zahl hat die gleiche Quersumme wie sie selbst, also ist die Relation reflexiv. Aus
folgt, dass 
und 
die gleiche Quersumme haben und damit auch 
gilt. Die Relation ist demnach symmetrisch. Wenn 
und 
gilt, müssen 
und 
die gleiche Quersumme haben, also gilt auch 
. Damit ist die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation.
b) Diese Relation ist ebenfalls reflexiv, weil man von jeder Stadt in sich selbst mit der Bahn fahren kann (beispielsweise indem man in eine Bahn einsteigt und an der gleichen Station wieder aussteigt). Außerdem ist die Relation symmetrisch, denn wenn man von einer Stadt in eine andere per Bahn fahren kann, kann man die gleiche Bahnlinie in die andere Richtung wieder zurücknehmen. Die Relation ist auch transitiv, denn wenn
und 
gilt, muss es eine Bahnverbindung von 
nach 
und eine von 
nach 
geben. Um von 
nach 
zu gelangen, kann man beide Verbindungen nacheinander nutzen, also gilt 
. Damit ist diese Relation ebenfalls eine Äquivalenzrelation.
Sehr gut, wobei ich mich wirklich gefragt habe, ob es theoretisch auch sein kann, dass es eine Zugverbindung von A nach B gibt ohne direkte Rückfahrstrecke von B nach A. Aber das wäre ja auch egal, weil man dann über weitere Bahnhöfe von B nach A kommen muss, denn irgendwie müssen die Züge ja wieder zurückkommen.
Das habe ich mich ebenfalls gefragt und mir ist nur eingefallen, dass es eine Stadt geben könnte, in der Züge hergestellt werden und von wo sie wegfahren, aber nicht wieder zurückkommen. Allerdings glaube ich nicht, dass bei solchen Fahrten Passagiere mitgenommen werden.
Coole Idee. 😁