09.01.201809.01.2018 von Stefan Hartmann

Verständnisfrage 1 – Thema: Komplexe Zahlen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$i$ ist die einzige komplexe Zahl, deren Quadrat gleich $-1$ ist.
$1$ ist die einzige komplexe Zahl, die zu sich selbst (multiplikativ) invers ist.
Die multiplikative Inverse einer Zahl aus $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ ist in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ .
Das Produkt je zweier Zahlen aus $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ ist in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ .

2

Hinterlasse einen Kommentar

Mitglied

Iris

Die erste Aussage ist falsch, denn das Quadrat von $-i$ ist ebenfalls $-1$ .
Die zweite Aussage ist falsch, weil $-1$ zu sich selbst multiplikativ invers ist.
Sei $r \in \mathbb{R}$ das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl $a+bi$ . Dann gilt $1 = (a+bi) \cdot r = ra + rbi$ . Das Produkt der beiden Zahlen muss reell sein, also muss $rb=0$ gelten. Die Zahl 0 hat kein multiplikatives Inverses, deshalb muss $r \neq 0$ sein. Also gilt $b = 0$ und damit $(a+bi) \in \mathbb{R}$ . Damit ist gezeigt, dass die dritte Aussage wahr ist.
Die vierte Aussage ist falsch, beispielsweise ist $i \cdot i = -1$ .

Autor

Stefan Hartmann

Alles richtig, prima!

2 Hinterlasse einen Kommentar

2

Hinterlasse einen Kommentar