09.01.201809.01.2018 von Stefan Hartmann

Verständnisfrage 2 – Thema: Automorphismen von Körpern

Sei $K$ ein Körper. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Identität ist immer ein Automorphismus von $K$ .
Die Identität ist nie ein Automorphismus von $K$ .
Jeder Körper hat nur die Identität als Automorphismus.
Jeder Körper hat mindestens zwei Automorphismen, nämlich die Identität und die Nullabbildung (das ist diejenige Abbildung, die jedes Element auf $0$ abbildet).
Kein Automorphismus $\ne id$ . bildet ein Element von $K$ auf sich ab.
Jeder Automorphismus von $K$ lässt mindestens zwei Elemente von $K$ fest.
$GF(4)$ hat nur die Identität als Automorphismus.

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Mitglied

Iris

Die erste Aussage ist richtig und die zweite falsch, denn die Bedingungen $f(x+y) = f(x)+f(y)$ und $f(x \cdot y) =f(x) \cdot f(y)$ sind immer erfüllt, wenn $f$ die Identität ist und es gilt $f(1) = 1 \neq 0$ .
Die dritte Aussage ist falsch; beispielsweise ist die Abbildung, die jede komplexe Zahl auf die zu ihr konjugiert-komplexe Zahl abbildet, ein nichttrivialer Automorphismus von $\mathbb{C}$ .
Die vierte Aussage ist falsch, weil die Nullabbildung 1 auf 0 abbildet und deshalb kein Automorphismus ist.
Die fünfte Aussage ist falsch und die sechste richtig, denn die Null- und Einselement werden immer auf sich selbst abgebildet.
Die letzte Aussage ist falsch. Die Abbildung, die 0 und 1 festlässt und $a$ mit $a+1$ vertauscht, ist ebenfalls ein Automorphismus von $GF(4)$ . Wenn man in den Additions- und Multiplikationstabellen jedes $a$ durch $a+1$ ersetzt und umgekehrt und anschließend jeweils die letzten beiden Zeilen und Spalten vertauscht, erhält man wieder die gleichen Tabellen. Folglich ist die Struktur des Körpers erhalten geblieben und die Abbildung ein Automorphismus.