Überzeugen Sie sich, dass jedes der Gleichheitszeichen in folgender Gleichungskette im Körper 
der komplexen Zahlen zu Recht besteht (das heißt, auf die Definition zurückgeführt werden kann).
(Bemerkung: Ich habe die Reihenfolge geändert, weil man sonst das letzte Gleichheitszeichen nicht begründen kann. Das erste Gleichheitszeichen ist so nur Einsetzen von 
und 
.)
Wie schon oben steht werden beim ersten Gleichzeichen
und 
eingesetzt. Danach wird ausmultipliziert. Beim dritten Gleichzeichen wird die Reihenfolge der Summanden verändert, 
zu 
zusammengefasst und bei den letzten beiden Summanden 
ausgeklammert. Zuletzt wird noch 
durch 
ersetzt. Außerdem fehlt das 
in der letzten Klammer.
Ich lasse die Antwort mal gelten, aber eigentlich war das anders gemeint. Du argumentierst „naiv“ (nicht böse gemeint), wie beim normalen Rechnen mit reellen Zahlen. Hier sollte aber wirklich auf die Axiome zurückgeführt werden. „Ausmultiplizieren“ ist dann das Distributivgesetz, dann wird ein paar Mal das Kommuntativgesetz der Addition und Multiplikation verwendet und nochmal das Distributivgesetz usw. Eigentlich sollte man das alles genau aufschreiben, jeden Schritt, jedes Axiom. Aber es genügt jetzt, wenn du es dir im Kopf klar machst. Das Pluszeichen habe ich ergänzt. 😊