Aufgabe 10

Warum ist ${\mathbb Z}_{ab}$ für $a>1$ und $b>1$ kein Körper?

Ist es möglich, dass eine Teilmenge $U \subseteq {\mathbb Z}_{ab}$ (mit der Addition und Multiplikation von ${\mathbb Z}_{ab}$ !) ein Körper ist?

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Mitglied

Iris

Wenn $a>1$ und $b>1$ gilt, dann ist auch $a<ab$ und $b<ab$ . Deshalb sind $a,b \in \mathbb{Z}_{ab}$ . Für ihr Produkt gilt $a \cdot b = ab \equiv 0 {\pmod {ab}}$ , was die Nullteilerfreiheit verletzt. Diese folgt jedoch aus den Körperaxiomen, also kann $\mathbb{Z}_{ab}$ kein Körper sein.
Die Teilmenge $U$ muss 0 und 1 enthalten, weil sie die neutralen Elemente sind. Alle anderen Elemente aus $\mathbb{Z}_{ab}$ sind von der Form $1+1+\dots +1$ . Wenn eines von ihnen nicht in $U$ enthalten wäre, wäre die Addition in $U$ nicht abgeschlossen. Eine echte Teilmenge von $\mathbb{Z}_{ab}$ kann also kein Körper sein. Da auch $\mathbb{Z}_{ab}$ kein Körper ist, ist es keine Teilmenge von $\mathbb{Z}_{ab}$ .

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt! 👍

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