Aufgabe 12

Die ${\bf Ordnung}$ eines Elements $a \ne 0$ aus ${\mathbb Z}_n$ ist die kleinste natürliche Zahl $i$ mit $a^i=1$ (in ${\mathbb Z}_n$ ). Bestimmen Sie die Ordnung in folgenden Fällen:

$a=5 \ , \ n=7 \ ;$
$a=10 \ , \ n=17 \ ;$
$a=8 \ , \ n=15 \ ;$
$a=2 \ , \ n=7 \ .$

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Mitglied

Iris

In ${\mathbb Z}_7$ hat 5 die Ordnung 6, 10 hat in ${\mathbb Z}_{17}$ die Ordnung 16, 8 hat in ${\mathbb Z}_{15}$ die Ordnung 4 und die Ordnung von 2 in ${\mathbb Z}_7$ ist 3.

Autor

Stefan Hartmann

Sehr gut! Was auffällt: Die Ordnung der Elemente ist immer ein Teiler von $n-1$ , wenn $n$ eine Primzahl ist. Das ist kein Zufall! Wir werden das später im Kapitel über Gruppen genauer untersuchen.

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