Aufgabe 14

Konstruieren Sie einen Körper, der genau $9$ Elemente hat.

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Mitglied

Iris

In $\mathbb{Z}_3$ gilt $0^2=0$ und $1^2=2^2 =1$ , es gibt also kein $a\in \mathbb{Z}_3$ mit $a^2=-1$ . Wie in Aufgabe 15 gezeigt ist deshalb $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ ein Körper, wenn man die Addition komponentenweise definiert und die Multiplikation mit der Vorschrift $(x, y)\cdot (x', y') = (xx'-yy', xy'+yx')$ . Da $\mathbb{Z}_3$ genau 3 Elemente hat, hat dieser Körper genau $3\cdot 3 = 9$ Elemente.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt. Wenn du dich mit Körpern noch besser auskennst (macht man später in der Algebra), wirst du allgemein sehen, wie man Körper mit $p^n$ Elementen ganz leicht konstruieren kann, wenn $p$ eine Primzahl ist. Im Moment fehlt uns an der Stelle hier noch das „Rüstzeug“ dafür.

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