Aufgabe 15

Sei $K$ ein Körper, in dem es kein Element $a$ gibt, für das $a^2=-1$ gilt. Wir definieren auf der Menge $K \times K$ die Addition komponentenweise und eine Multiplikation durch folgende Vorschrift:

$(x,y) \cdot (x',y') := (xx' - yy', xy'+x'y)$ .

(a) Zeigen Sie, dass die so definierte Struktur ein Null- und ein Einselement besitzt.

(b) Zeigen Sie, dass jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besizuz.

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Mitglied

Iris

(a) Für alle $(x, y) \in K \times K$ gilt $(0,0)+(x,y)=(x+0, y+0)=(x,y)=(x,y)+(0,0)$ und $(1,0)\cdot (x,y)=(1\cdot x-0\cdot y, 1\cdot y + 0\cdot x) = (x, y) = (x, y)\cdot (0,0)$ , also ist $(0,0)$ das Nullelement und $(1,0)$ das Einselement.
(b) Angenommen, es gäbe Elemente $x,y\in K$ , die nicht beide 0 sind und für die gilt $x^2+y^2=0$ . Sei o. B. d. A. $y \neq 0$ , dann existiert $y^{-1} \in K$ . Dann gilt $x^2+y^2=0 \Leftrightarrow x^2=-y^2 \Leftrightarrow x^2\cdot(y^{-1})^2=-1=(xy^{-1})^2$ , also ist $a^2=-1$ für $a = xy^{-1}$ . Das ist ein Widerspruch, also muss $x^2+y^2\neq 0$ gelten, wenn $x\neq 0$ oder $y \neq 0$ ist. Deshalb existiert für jedes von 0 verschiedene Element $(x, y)$ aus $K \times K$ ein Element $(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2})$ . Wegen $(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2})\cdot (x,y)= (x, y)\cdot(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}) = (\frac{x^2}{x^2+y^2}-\frac{-y^2}{x^2+y^2}, \frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{-xy}{x^2+y^2})=(\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2},\frac{xy-xy}{x^2+y^2})=(1,0)$ ist dieses Element das multiplikative Inverse von $(x,y)$ .
(c) Die Gesetze der Addition folgen aus den entsprechenden Gesetzen in $K$ , weil die Addition komponentenweise definiert ist, das inverse Element zu $(x,y)$ ist $(-x,-y)$ .
Kommutativität der Multiplikation:
$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)=(x_2x_1-y_2y_1,x_2y_1+y_2x_1)=(x_2,y_2)\cdot (x_1,y_1)$
Assoziativität der Multiplikation:
$(x_1,y_1)\cdot((x_2,y_2)\cdot(x_3,y_3))=(x_1,y_1)\cdot(x_2x_3-y_2y_3,x_2y_3+y_2x_3)=(x_1x_2x_3-y_1y_2x_3-x_1y_2y_3-y_1x_2y_3)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\cdot(x_3,y_3)=((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2))\cdot(x_3,y_3)$
Distributivgesetz:
$(x_1,y_1)\cdot((x_2,y_2)+(x_3,y_3))=(x_1,y_1)\cdot(x_2+x_3,y_2+y_3)=(x_1x_2+x_1x_3-y_1y_2-y_1y_3, x_1y_2+x_1y_3+y_1x_2+y_1x_3)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)+(x_1x_3-y_1y_3,x_1y_3+y_1x_3)=(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)+(x_1,y_1)\cdot (x_3,y_3)$
Also ist $K\times K$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper.

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Iris, sehr gut. Stimmt, den Zusammenhang $x^2+y^2=0 \Leftrightarrow (xy^{-1})^2=-1$ (falls $y \ne 0$ ) muss man erst einmal sehen… Hätte ich auch länger drüber nachdenken müssen, obwohl ich es natürlich schon kannte aus dem Studium. Gut aufgeschrieben! LG, Stefan

Autor

Stefan Hartmann

Mach mal die Körper (und das $\mathbb{C}$ -Projekt) bald zu Ende, damit wir bald mal mit der „richtigen“ Linearen Algebra anfangen können (Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen). 😉

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