Aufgabe 17

Sei K ein endlicher Körper.

(a) Dann gibt es eine natürliche Zahl n derart, dass

n \cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} = 0

gilt.

(b) Sei p die kleinste natürliche Zahl mit p \cdot 1=0. Zeigen Sie: p ist eine Primzahl.

[Man nennt p die {\bf Charakteristik} des Körpers K.]

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4 Kommentare auf "Aufgabe 17"

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Iris
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Iris

(a) Da die Addition in K abgeschlossen ist und K eine endliche Anzahl Elemente enthält, gibt es zwei unterschiedliche natürliche Zahlen k, m mit k>m, für die gilt \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{k \ {\textrm mal}} = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{m \ {\textrm mal}}. Dann ist \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{k-m \ {\textrm mal}} =0. Mit n=k-m erhält man \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} =0.
(b) Angenommen, p sei keine Primzahl. Dann existieren zwei natürliche Zahlen a, b mit 0<a,b<p. Da a und b natürliche Zahlen und kleiner als p sind, gilt a,b\neq 0. Allerdings ist auch a\cdot b = p = 0, was der Nullteilerfreiheit widerspricht. Also war die Annahme falsch und p ist eine Primzahl.