14.01.201814.01.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 17

Sei $K$ ein endlicher Körper.

(a) Dann gibt es eine natürliche Zahl $n$ derart, dass

$n \cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} = 0$

gilt.

(b) Sei $p$ die kleinste natürliche Zahl mit $p \cdot 1=0$ . Zeigen Sie: $p$ ist eine Primzahl.

[Man nennt p die ${\bf Charakteristik}$ des Körpers $K$ .]

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Iris

(a) Da die Addition in $K$ abgeschlossen ist und $K$ eine endliche Anzahl Elemente enthält, gibt es zwei unterschiedliche natürliche Zahlen $k, m$ mit $k>m$ , für die gilt $\underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{k \ {\textrm mal}} = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{m \ {\textrm mal}}$ . Dann ist $\underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{k-m \ {\textrm mal}} =0$ . Mit $n=k-m$ erhält man $\underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} =0$ .
(b) Angenommen, $p$ sei keine Primzahl. Dann existieren zwei natürliche Zahlen $a, b$ mit $0<a,b<p$ . Da $a$ und $b$ natürliche Zahlen und kleiner als $p$ sind, gilt $a,b\neq 0$ . Allerdings ist auch $a\cdot b = p = 0$ , was der Nullteilerfreiheit widerspricht. Also war die Annahme falsch und $p$ ist eine Primzahl.

Autor

Stefan Hartmann

(a) ist richtig. Bei (b) sind einige Unsauberkeiten. Zunächst schreibst du nirgendwo, dass $a \cdot b=p$ gelten soll. Dann schreibst du $p=0$ , was nicht richtig ist, denn es ist nur $p \cdot 1 =0$ , und $p \cdot 1 \ne p$ (links steht ein Element des Körpers, rechts eine natürliche Zahl). Daher ist auch das Argument mit der Nullteilerfreiheit so nicht richtig, denn $a$ und $b$ sind keine Elemente des Körpers. Versuche (b) bitte noch einmal und argumentiere dabei etwas sorgfältiger mit den richtigen (Körper-)Elementen, indem du die $1$ mitschleppst. Du meinst natürlich das Richtige, aber es ist zu dem Zeitpunkt deiner mathematischen Entwicklung nicht sinnvoll schon $p$ und $p \cdot 1$ einfach zu identifizieren. In diesem Stadium sollst du ja gerade lernen, ganz gewissenhaft zu arbeiten und (auch formal) sehr genau zu argumentieren.

Mitglied

Iris

Angenommen, $p$ sei keine Primzahl. Dann gibt es zwei natürliche Zahlen $a, b$ mit $0<a,b<p$ und $a\cdot b = p$ . Da $p$ die kleinste natürliche Zahl mit $p\cdot 1 =0$ ist und $a$ und $b$ kleiner sind als $p$ , gilt $(a \cdot 1), (b \cdot 1) \neq 0$ . Allerdings ist auch $(a\cdot 1)\cdot (b\cdot 1) = p \cdot 1 = 0$ , was der Nullteilerfreiheit widerspricht. Also muss die Annahme falsch und $p$ eine Primzahl sein.

Autor

Stefan Hartmann

So ist es sehr gut aufgeschrieben, prima!

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