Aufgabe 18

(a) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: {\mathbb Z}_p hat die Charakteristik p.

(b) Sei K ein Körper mit Charakteristik p. Dann enthält K einen Körper, der isomorph zu {\mathbb Z_p ist.

(c) Sei K ein Körper der Charakteristik p, und sei K nicht isomorph zu {\mathbb Z}_p. Dann gilt: |K|  \ge p^2.

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2 Kommentare auf "Aufgabe 18"

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Iris
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Iris
(a) In gilt für eine natürliche Zahl genau dann , wenn erfüllt ist. Dann ist ein ganzzahliges Vielfaches von . Die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist , also ist die Charakteristik von . (b) enthält auf jeden Fall die Elemente 0 und 1. Wegen der Abgeschlossenheit der Addition müssen auch die Elemente enthalten sein. Diese Elemente sind nicht alle unterschiedlich, beispielsweise ist . Wenn für zwei unterschiedliche natürliche Zahlen gilt, dann folgte aus . Da gilt, wäre dann nicht die Charakteristik von , was ein Widerspruch ist. Also muss jede natürliche Zahl, die kleiner als ist, ein anderes Element von sein. Außerdem ist für sicher nicht , also ist ein weiteres Element von . Damit sind alle Elemente aus auch Elemente von . Die Abbildung, die jedes auf das entsprechende Element abbildet, ist dann ein Isomorphismus von auf einen Teilkörper von . (c) Wenn nicht isomorph zu ist, aber einen Körper mit dieser Eigenschaft enthält, dann gibt es noch mindestens ein weiteres Element , das kein Element des zu isomorphen Körpers ist. kann nicht von der Form sein, denn alle Elemente von dieser Form sind in dem zu isomorphen Körper enthalten. Da abgeschlossen bezüglich der Addition ist, muss… Read more »