Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass in ${\mathbb C}$ die Assoziationsgesetze und das Distributivgesetz gelten.

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Mitglied

Iris

Die Addition ist komponentenweise definiert, deshalb folgt die Assoziativität aus dem Assoziativgesetz in $\mathbb{R}$ .
Für die Multiplikation in $\mathbb{C}$ gilt $x \cdot (y \cdot z) = (a_x + b_xi) \cdot ((a_y + b_yi) \cdot (a_z + b_zi)) = (a_x + b_xi) \cdot (a_ya_z - b_yb_z + (a_yb_z + a_zb_y)i) = a_x(a_ya_z - b_yb_z) - b_x(a_yb_z + a_zb_y) + b_x(a_ya_z - b_yb_z)i + a_x(a_yb_z - a_zb_y)i = a_xa_ya_z - a_xb_yb_z - a_yb_xb_z - a_zb_xb_y + (a_xa_yb_z + a_xa_zb_y + a_ya_zb_x - b_xb_yb_z)i = (a_xa_y-b_xb_y)a_z - (a_xb_y+a_yb_x)b_z + (a_xb_y + a_yb_x)a_zi + (a_xa_y - b_xb_y)b_zi = (a_xa_y-b_xb_y + (a_xb_y+a_yb_x)i) \cdot (a_z + b_zi) = (x \cdot y) \cdot z$
Auch das Distributivgesetz gilt in $\mathbb{C}$ :
$x \cdot (y + z) = (a_x + b_xi) \cdot (a_y+a_z + (b_y+b_z)i) = a_xa_y + a_xa_z - b_xb_y-b_xb_z + (a_xb_y + a_xb_z + b_ya_x + b_za_x)i = a_xa_y - b_xb_y + (a_xb_y + b_xa_y)i + a_xa_z - b_xb_z + (a_xb_z + a_zb_x)i = (a_x + b_xi) \cdot (a_y + b_yi) + (a_x+b_xi) \cdot (a_z+b_zi) = x\cdot y + x \cdot z$

Autor

Stefan Hartmann

Schön!

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