Aufgabe 20

Bestimmen Sie alle Automorphismen des Körpers $GF(p)$ ( $={\mathbb Z}_p$ ), wobei $p$ eine Primzahl ist.

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Mitglied

Iris

Wenn $f$ ein Automorphismus eines Körpers $K$ ist, dann gilt für ein beliebiges $x\in K$ : $f(x) = f(x+0) = f(x)+f(0) \Leftrightarrow f(0) = 0$ und $f(x) = f(x\cdot1) = f(x) \cdot f(1) \Leftrightarrow f(1) = 1$ . Ein Automorphismus lässt also immer Null- und Einselement fest. Jedes andere $n \in GF(p)$ kann als $\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{n mal}}$ dargestellt werden. Folglich gilt $f(n) = f(\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{n mal}})= \underbrace{f(1)+f(1)+\dots+f(1)}_{\text{n mal}} = \underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{n mal}} = n$ . Damit sind alle Elemente von $GF(p)$ fest, es gibt also nur den trivialen Automorphismus.

Autor

Stefan Hartmann

Genau so ist es, prima!

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