Aufgabe 21

Sei $f:K \rightarrow L$ ein Homomorphismus des Körpers $K$ in den Körper $L$ . Zeigen Sie:

(a) Das Element $0 \in K$ ist das einzige Element, das auf $0 \in L$ abgebildet wird.

(b) Die Abbildung $f$ ist injektiv.

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Mitglied

Iris

(a) Gäbe es ein $a\neq 0 \in K$ mit $f(a) = 0$ , dann wäre $f(1) = f(a \cdot a^{-1}) =f(a) \cdot f(a^{-1}) = 0\cdot f(a^{-1}) = 0$ , also wäre $f$ kein Homomorphismus.
(b) Wenn für $a, b \in K$ gilt: $f(a)=f(b)$ , dann ist $0=f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a+(-b))$ . Da nur $0\in K$ auf $0\in L$ abgebildet wird, gilt $0=a+(-b)$ und damit $a=b$ , also ist $f$ injektiv.