Aufgabe 21

Sei f:K \rightarrow L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L. Zeigen Sie:

(a) Das Element 0 \in K ist das einzige Element, das auf 0 \in L abgebildet wird.

(b) Die Abbildung f ist injektiv.

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3 Kommentare auf "Aufgabe 21"

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Iris
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Iris

(a) Gäbe es ein a\neq 0 \in K mit f(a) = 0, dann wäre f(1) = f(a \cdot a^{-1}) =f(a) \cdot f(a^{-1}) = 0\cdot f(a^{-1}) = 0, also wäre f kein Homomorphismus.
(b) Wenn für a, b \in K gilt: f(a)=f(b), dann ist 0=f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a+(-b)). Da nur 0\in K auf 0\in L abgebildet wird, gilt 0=a+(-b) und damit a=b, also ist f injektiv.