Aufgabe 3

Berechnen Sie die multiplikativen Inversen der folgenden komplexen Zahlen:

$5+2i \ , \ 7-i \ , \ 1+2i \ .$

2

Hinterlasse einen Kommentar

Mitglied

Iris

Sei $a'+b'i$ das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl $a+bi$ mit $a\neq 0$ , dann gilt $(a+bi)\cdot(a'+b'i) = aa'-bb' + (ab'+a'b)i = 1$ . Dann müssen die Gleichungen $aa'-bb'=1$ und $ab'+a'b = 0$ erfüllt werden. Durch Umformen der ersten Gleichung nach $a'$ erhält man $a'= \frac{1+bb'}{a}$ . Einsetzen in die zweite Gleichung liefert $0=ab'+\frac{1+bb'}{a} \cdot b = ab'+ \frac{b^2b'}{a} + \frac{b}{a} = b' \big( a+\frac{b^2}{a} \big) + \frac{b}{a} \Leftrightarrow b' \big( a+\frac{b^2}{a} \big) = - \frac{b}{a} \Leftrightarrow b' = \frac{+b}{(a+\frac{b^2}{a})a} = \frac{-b}{a^2+b^2}$ . Setzt man diesen Term in den Ausdruck für $a'$ ein, erhält man $a' = \frac{1+b(\frac{-b}{a^2+b^2}}{a} = \frac{a^2+b^2+b\cdot(-b)}{(a^2+b^2)a} = \frac{a^2}{(a^2+b^2)a} = \frac{a}{a^2+b^2}$ .
Das Inverse von $a+bi$ ist also $\frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-b}{a^2+b^2}i$ .
$(5+2i)^{-1} = \frac{5}{29} + \frac{-2}{29}i \\ (7-i)^{-1} = \frac{7}{50} + \frac{1}{50}i \\ (1+2i)^{-1} = \frac{1}{5} + \frac{-2}{5}i$