Zeigen Sie: Die Abbildung der Gaußschen Zahlenebene in sich, die durch Multiplikation mit einer reellen Zahl 
beschrieben wird, ist eine Streckung mit Zentrum 
.
(Bemerkung: Auch hier ist nicht wirklich was zu zeigen, wenn man sich Aufgabe 2 überlegt hat. Trotzdem bitte nochmal formal aufschreiben.)
Die Multiplikation mit
bildet jeden Punkt auf sich selbst ab, weil 
das neutrale Element der Multiplikation ist. Es gibt also eine Abbildung mit unendlich vielen Fixpunkten, die durch die Multiplikation mit einer reellen Zahl 
beschrieben wird. Eine Streckung hat genau einen Fixpunkt, also ist diese Abbildung keine Streckung.
Das ist dann Definitionssache. Nach Wikipedia ist die identische Abbildung auch eine Streckung, und so kenne ich es auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrische_Streckung
Die Definition im Buch verlangt genau einen Fixpunkt, was ja nur für einen Faktor
gegeben ist.
ist 
auf jeden Fall ein Fixpunkt, denn 
. Eine Gerade 
ist die Menge aller Punkte 
, die die Gleichung 
mit 
erfüllen. Für die Bilder 
dieser Punkte gilt 
, sie liegen also ebenfalls auf einer Geraden 
. Dabei ist auch jeder Punkt der Bildgeraden das Bild eines Punktes auf 
, denn wegen 
existiert 
und die Multiplikation mit 
bildet 
auf 
ab, da das Produkt der Multiplikation mit 
und 
die identische Abbildung ist.
eine Gerade durch 
ist, ist 
, also erfüllen alle Punkte auf 
die Gleichung 
. Für die Bilder dieser Punkte gilt 
, also liegen sie ebenfalls auf 
. Folglich bleiben Geraden durch 
fest.
Bei der Multiplikation mit einer reellen Zahl
Wenn
Okay, dann widerspricht sich Beutelspacher selbst mit seiner Definition (diese hatte ich nicht gesehen) und der zu zeigenden Aussage. Dein Beweis stimmt ansonsten.