Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass für die Einheiten von ${\mathbb H}$ das Assoziativgesetz gilt, falls man (neben den anderen Festlegungen, die wir in Abschnitt 2.2. für die Einheiten getroffen haben) nur die folgenden Gesetze fordert:

$j \cdot (j \cdot k) = (j \cdot j) \cdot k \ , \ k \cdot (k \cdot i) = (k \cdot k) \cdot i \ , \ i \cdot (i \cdot j) = (i \cdot i) \cdot j$ .

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Mitglied

Iris

Aus den oben angegebenen Gesetzen und $i \cdot j = k, j \cdot k = i, k \cdot i = j$ folgt $j \cdot i = j \cdot (j \cdot k) = (j \cdot j) \cdot k = -k, k \cdot j = k \cdot (k \cdot i) = (k \cdot k) \cdot i = -i$ und $i \cdot k = i \cdot (i \cdot j) = (i \cdot i) \cdot j = -j$ . Damit und mit der Vertauschbarkeit der Einheiten mit reellen Zahlen lassen sich die übrigen Gesetze für die Einheiten berechnen.
$i \cdot (i \cdot k) = i \cdot (-j) = -i \cdot j = -k = (i\cdot i) \cdot k \\ i \cdot (j \cdot j) = i \cdot (-1) = -i = k \cdot j = (i \cdot j) \cdot j \\ i \cdot (j \cdot k) = i \cdot i = -1 = k \cdot k = (i \cdot j) \cdot k \\ i \cdot (i \cdot i) = i \cdot(-1) = -1 \cdot i = (i \cdot i) \cdot i\\ i \cdot (k \cdot j) = i \cdot (-i) = -i\cdot i = 1 = -j \cdot j = (i \cdot k) \cdot j\\ i \cdot (k \cdot k) = i \cdot (-1) = -i = j \cdot k = (i \cdot k) \cdot k \\ i \cdot (j \cdot i) = i \cdot (-k) = -i \dcot k = j = k \cdot i = (i \cdot j) \cdot k \\ i \cdot (k \cdot i) = i \cdot j = k = -j \cdot i = (i \cdot k) \cdot i$
Für die anderen Fälle muss man $i$ durch $j$ , $j$ durch $k$ und $k$ durch $i$ bzw. $i$ durch $k$ , $k$ durch $j$ und $j$ durch $i$ ersetzen.

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Iris, ich sehe ein paar Schreibfehler, beispielsweise in der vorletzten Zeile muss es am Schluss $(i \cdot j) \cdot i$ heißen. Oder in der drittletzten Zeile ist nicht $-i=j \cdot k$ , sondern $-i=(-j) \cdot k$ . Aber du hast es ja trotzdem verstanden, prima. Wann geht es denn weiter mit den Aufgaben? Beim Distributivgesetz weiß ich übrigens nicht, wie man das auf die Einheiten zurückführen soll. Wenn du es auch nicht weißt, zeige es einfach direkt.

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