Aufgabe 5

(a) Zeigen Sie: Man kann die Gültigkeit der Distributivgesetze in {\mathbb H} auf die Gültigkeit der Distributivgesetze für die Einheiten zurückführen.

(b) Weisen Sie die Distributivgesetze für die Einheiten von {\mathbb H} nach.

2
Hinterlasse einen Kommentar

avatar
1 Kommentar Themen
1 Themen Antworten
0 Follower
 
Kommentar, auf das am meisten reagiert wurde
Beliebtestes Kommentar Thema
2 Kommentatoren
Stefan HartmannIris Letzte Kommentartoren
  Abonnieren  
Benachrichtige mich zu:
Iris
Mitglied
Iris

(a) Wenn die Distributivgesetze für die Einheiten stimmen, gilt
(h_1+h_2)\cdot h_3 = (a_1+a_2)\cdot a_3 - (b_1+b_2)\cdot b_3-(c_1+c_2)\cdot c_3 -(d_1+d_2)\dot d_3 + ((a_1+a_2)\cdot b_3 +(b_1+b_2)\cdot a_3 +(c_1+c_2)\cdot d_3 -(d_1+d_2)\cdot c_3)i + ((a_1+a_2)\cdot c_3 -(b_1+b_2)\cdot d_3 +(c_1+c_2)\dot a_3 +(d_1+d_2)\cdot b_3)j+((a_1+a_2)\dot d_3 +(b_1+b_2)\cdot c_3 -(c_1+c_2) \cdot b_3 +(d_1+d_2)\cdot a_3)k=a_1a_3+a_2a_3-b_1b_3-b_2b_3-c_1c_3-c_2c_3-d_1d_3-d_2d_3+(a_1b_3+a_2b_3+b_1a_3+\dots -d_2c_3)i+(a_1c_3+a_2c_3-\dots +d_2b_3)j+(a_1d_3+a_2d_3+\dots +d_2a_3)k=a_1a_3-b_1b_3-c_1c_3c-d_1d_3+(a_1b_3+\dots -d_1c_3)i +(a_1c_3-\cdots +d_1b_3)j+(a_1d_3+\dots +d_1a_3)k+a_2a_3-b_2b_3-c_2c_3c-d_2d_3+(a_2b_3+\dots -d_2c_3)i +(a_2c_3-\cdots +d_2b_3)j+(a_2d_3+\dots +d_2a_3)k=h_1\cdot h_3+h_2\cdot h_3
Das zweite Distributivgesetz folgt analog.
(b) Für zwei reelle Zahlen r_1 und r_2 gilt
(r_1+r_2)\cdot i = ((r_1, 0, 0, 0)+(r_2, 0, 0, 0))\cdot (0, 1, 0, 0) = (r_1+r_2, 0, 0, 0)\cdot (0,1,0,0) = (0, r_1+r_2,0,0)=(0,r_1,0,0)+(0,r_2,0,0)=(r_1,0,0,0)\cdot (0,1,0,0)+(r_2,0,0,0)\cdot (0,1,0,0)=r_1\cdot i+r_2\cdot i
Da die imaginären Einheiten mit reellen Zahlen vertauschbar sind, gilt auch das zweite Distributivgesetz.
i \cdot (r_1+r_2) = (r_1+r_2) \cdot i = r_1 \cdot i + r_2 \cdot i = i \cdot r_1 + i \cdot r_2
Auf die gleiche Weise folgen auch die Distributivgesetze für die anderen imaginären Einheiten.