14.01.201814.01.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 6

Führen Sie den Quaternionenschiefkörper nach der Art und Weise ein, in der wir die komplexen Zahlen eingeführt haben. Also in etwa so: Die Quaternionen sind die 4-Tupel $(a,b,c,d)$ reeller Zahlen. Speziell setzen wir fest: $i:=(0,1,0,0) \ , \ j:=(0,0,1,0) \ , \ k:=(0,0,0,1)$ . Die Addition wird komponentenweise definiert.

(a) Definieren Sie die Multiplikation.

(b) Zeigen Sie, dass man auf diese Weise einen Schiefkörper erhält.

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Mitglied

Iris

(a) $(a,b,c,d)\cdot(a',b',c',d')=(aa'-bb'-cc'-dd', ab'+ba'+cd'-dc',ac'-bd'+ca'+db',ad'+bc'-cb'+da')$
(b) Die Gesetze der Addition folgen aus den entsprechenden Gesetzen für die reellen Zahlen, weil die Addition komponentenweise definiert ist. Das neutrale Element ist $(0,0,0,0)$ , das inverse Element von $(a,b,c,d)$ ist $(-a,-b,-c,-d)$ .
Das neutrale Element der Multiplikation ist $(1,0,0,0)$ , denn $(1,0,0,0)\cdot(a,b,c,d)=(a,b,c,d)=(a,b,c,d)\cdot(1,0,0,0)$ . Das multiplikative Inverse von $(a,b,c,d)$ ist $(\frac{a}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-b}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-c}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-d}{a^2+b^2+c^2+d^2})$ , denn $(a,b,c,d)\cdot(\frac{a}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-b}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-c}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-d}{a^2+b^2+c^2+d^2})=(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-ab+ba-cd+dc}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-ac+bd+ca-db}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-ad-bc+cb+da}{a^2+b^2+c^2+d^2})=(1,0,0,0)=(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{ab-ba-cd+dc}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{ac+bd-ca+db}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{ad-bc+cb-da}{a^2+b^2+c^2+d^2})=(\frac{a}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-b}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-c}{a^2+b^2+c^2+d^2},\frac{-d}{a^2+b^2+c^2+d^2})\cdot(a,b,c,d)$
Außerdem ist die Multiplikation assoziativ, denn es gilt $((a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot(a_2,b_2,c_2,d_2))\cdot(a_3,b_3,c_3,d_3)=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2,a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2,a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2,a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)\cdot(a_3,b_3,c_3,d_3)=(a_1a_2a_3-b_1b_2a_3-c_1c_2a_3-d_1d_2a_3-a_1b_2b_3-b_1a_2b_3-c_1d_2b_3+d_1c_2b_3-a_1c_2c_3+b_1d_2c_3-c_1a_2c_3-d_1b_2c_3-a_1d_2d_3-b_1c_2d_3+c_1b_2d_3-d_1a_2d_3, a_1a_2b_3-\dots-d_1a_2c_3,a_1a_2c_3-\dots-d_1a_2b_3,a_1a_2d_3-\dots+d_1a_2a_3)=(a_1a_2a_3-a_1b_2b_3-a_1c_2c_3-a_1d_2d_3-b_1a_2b_3-b_1b_2a_3-b_1c_2d_3+b_1c_2d_3-c_1a_2c_3+c_1b_2d_3-c_1c_2a_3-c_1d_2b_3-c_1d_2b_3-d_1a_2d_3-d_1b_2c_3+d_1c_2b_3-d_1d_2a_3,a_1a_2b_3+\dots-d_1d_2b_3,a_1a_2c_3-\dots+d_1a_2b_3,a_1a_2d_3+\dots-d_1d_2d_3)=(a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot(a_2a_3-b_2b_3-c_2c_3-d_2d_3,a_2b_3+b_2a_3+c_2d_3-d_2c_3,a_2c_3-b_2d_3+c_2a_3+d_2b_3,a_2d_3+b_2c_3-c_2b_3+d_2a_3)=(a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot((a_2,b_2,c_2,d_2)\cdot(a_3,b_3,c_3,d_3))$
Die Distributivgesetze wurden in Aufgabe 5 nachgewiesen.