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4 Kommentare auf "Aufgabe 6"

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Iris
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Iris

Die komplexe Zahl c=a+bi hat den Betrag |c|=\sqrt{a^2+b^2} und schließt mit der positiven reellen Achse den Winkel \alpha ein, wobei \sin(\alpha) = \frac{b}{|c|} und \cos(\alpha)= \frac{a}{|c|} gilt. Für den Betrag von c'=c\cdot z=a\cos(\varphi)-b\sin(\varphi)+(a\sin(\varphi)+b\cos(\varphi))i gilt |c'|=\sqrt{(a\cos \varphi -b\sin \varphi)^2+(a\sin \varphi + b \cos \varphi)^2}= \sqrt{a^2\cos^2\varphi-2ab\sin \phi \cos \varphi + b^2 \sin^2 \varphi + a^2\sin^2 \varphi +2ab\sin \varphi \cos \varphi + b^2\cos^2 \varphi} = \sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2 \sin^2 \varphi + a^2\sin^2 \varphi +b^2\cos^2 \varphi} = \sqrt{(a^2 + b^2)(\sin^2 \varphi + \cos^2\varphi)} = \sqrt{a^2+b^2} = |c|.
Für den Winkel \alpha', den c' mit der positiven reellen Achse einschließt, gilt \sin \alpha' = \frac{a\sin \varphi +b\cos \varphi}{|c'|} = \frac{a\sin \varphi +b\cos \varphi}{|c|}=\frac{b}{|c|}\cos \varphi+\frac{a}{|c|}\sin \varphi = \sin \alpha \cos \varphi + \sin \varphi \cos \alpha = \sin(\alpha + \varphi) und cos \alpha' = \frac{a\cos \varphi -b\sin \varphi}{|c'|} = \frac{a\cos \varphi -b\sin \varphi}{|c|} = \frac{a}{|c|}\cos \varphi - \frac{b}{|c|} \sin \varphi = \cos \alpha \cos \varphi- \sin \alpha \sin \varphi = \cos (\alpha +\varphi), also gilt \alpha'=\alpha+\varphi. Folglich beschreibt die Multiplikation mit z eine Drehung um den Winkel \varphi.
Eine Punktspiegelung erhält man für \phi = 180°, also für z = -1.