Aufgabe 6

Zeigen Sie: Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $z = \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi$ beschreibt eine Drehung um den Ursprung um den Winkel $\varphi$ . Für welchen Winkel $\varphi$ erhält man eine Punktspiegelung?

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Mitglied

Iris

Die komplexe Zahl $c=a+bi$ hat den Betrag $|c|=\sqrt{a^2+b^2}$ und schließt mit der positiven reellen Achse den Winkel $\alpha$ ein, wobei $\sin(\alpha) = \frac{b}{|c|}$ und $\cos(\alpha)= \frac{a}{|c|}$ gilt. Für den Betrag von $c'=c\cdot z=a\cos(\varphi)-b\sin(\varphi)+(a\sin(\varphi)+b\cos(\varphi))i$ gilt $|c'|=\sqrt{(a\cos \varphi -b\sin \varphi)^2+(a\sin \varphi + b \cos \varphi)^2}= \sqrt{a^2\cos^2\varphi-2ab\sin \phi \cos \varphi + b^2 \sin^2 \varphi + a^2\sin^2 \varphi +2ab\sin \varphi \cos \varphi + b^2\cos^2 \varphi} = \sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2 \sin^2 \varphi + a^2\sin^2 \varphi +b^2\cos^2 \varphi} = \sqrt{(a^2 + b^2)(\sin^2 \varphi + \cos^2\varphi)} = \sqrt{a^2+b^2} = |c|$ .
Für den Winkel $\alpha'$ , den $c'$ mit der positiven reellen Achse einschließt, gilt $\sin \alpha' = \frac{a\sin \varphi +b\cos \varphi}{|c'|} = \frac{a\sin \varphi +b\cos \varphi}{|c|}=\frac{b}{|c|}\cos \varphi+\frac{a}{|c|}\sin \varphi = \sin \alpha \cos \varphi + \sin \varphi \cos \alpha = \sin(\alpha + \varphi)$ und $cos \alpha' = \frac{a\cos \varphi -b\sin \varphi}{|c'|} = \frac{a\cos \varphi -b\sin \varphi}{|c|} = \frac{a}{|c|}\cos \varphi - \frac{b}{|c|} \sin \varphi = \cos \alpha \cos \varphi- \sin \alpha \sin \varphi = \cos (\alpha +\varphi)$ , also gilt $\alpha'=\alpha+\varphi$ . Folglich beschreibt die Multiplikation mit $z$ eine Drehung um den Winkel $\varphi$ .
Eine Punktspiegelung erhält man für $\phi = 180$ °, also für $z = -1$ .

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Iris, das ist richtig, aber es ginge doch einfacher, wenn du einfach c in Polarkoordinaten schreibst, also als $c = |c|\cdot (\cos(\psi)+i\sin(\psi))$ , dann die Multiplikation mit z durchführst und dann mit Hilfe der Additionstheoreme direkt siehst, dass um $\varphi$ gedreht wurde, oder? (So würde man es dann auch später mit Matrizen/linearen Abbildungen machen.)

Mitglied

Iris

Das ginge tatsächlich deutlich einfacher.
$c\cdot z = |c|\cdot (\cos\psi+i\sin\psi) \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) = |c| \cdot (\cos\psi \cdot \cos \varphi - \sin\psi\cdot\sin\varphi + i(\cos\psi\cdot\sin\varphi+\sin\psi\cdot\cos\varphi)) = |c| \cdot (cos(\psi+\varphi) + i\sin(\psi+\varphi))$
Die entsprechende Matrix wäre $\left(\begin{array}{rr} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{array}\right)$ , oder?

Autor

Stefan Hartmann

Das ist richtig. Ich hoffe, ich komme jetzt am Wochenende mal dazu neue Aufgaben reinzustellen.

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