14.01.201814.01.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 7

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie: Wenn $a, \, b, \, a', \ b'$ natürliche Zahlen sind mit

$a' \equiv a {\pmod n$ und $b' \equiv b {\pmod n}$ ,

so gilt auch:

$a'+b' \equiv a + b {\pmod n$ und $a' \cdot b'\equiv a \cdot b {\pmod n}$

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Mitglied

Iris

Wenn $a' \equiv a {\pmod n }$ gilt, ist $a' -a = m_a \cdot n$ mit $m_a \in \mathbb{N}$ . Wegen $b' \equiv b {\pmod n}$ ist auch $b'-b = m_b \cdot n$ mit $m_b \in \mathbb{N}$ . Dann ist $(a'+b')-(a+b) = (m_a+m_b) \cdot n$ ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von $n$ , also gilt $a'+b' \equiv a + b {\pmod n}$ . Außerdem ist $a'\cdot b' -a\cdot b = a\cdot b + a \cdot m_b\cdot n + b \cdot m_a \cdot n + m_a \cdot m_b \cdot n^2 - a \cdot b$
$= (a \cdot m_b + b \cdot m_a + m_a\cdot m_b \cdot n) \cdot n$ ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von $n$ , weshalb $a' \cdot b'\equiv a \cdot b {\pmod n}$ gilt.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist richtig, aber bei der Multiplikation nicht so gut aufgeschrieben wie sonst. Da muss man sich als Leser zu viele Gedanken machen bzw. zu viel selbst nachrechnen. Ein Zwischenschritt mehr wäre besser gewesen.

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