Aufgabe 1

Weisen Sie für mindestens zwei Beispiele aus Abschnitt 3.2 die Vektorraumaxiome explizit nach.

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Der Nullvektor in K^n ist (0,0,\dots,0), der zu (k_1, k_2, \dots, k_n) negative Vektor ist (-k_1, -k_2,\dots, -k_n). Assoziativität und Kommutativität der Vektoraddition folgen aus den entsprechenden Gesetzen für die Addition in K.
Für die Skalarmultiplikation gilt 1\cdot (k_1, k_2, \dots , k_n) = (1\cdot k_1, 1\cdot k_2, \dots, 1 \cdot k_n) = k_1, k_2, \dots, k_n). Die übrigen Eigenschaften folgen aus den Distributivgesetzen und der Assoziativität der Multiplikation in K.
Die Gesetze für K^{n\times m} folgen analog.
In der Menge V der Teilmengen einer Menge ist \varnothing der Nullvektor und jeder Vektor sein eigener negativer Vektor.
Für die Vektoren X, Y, Z \in V gilt X+Y = (X\cup Y) \setminus (X\cap Y) = (Y\cup X) \setminus (Y\cap X) = Y+X
(X+Y)+W=((X\cup Y)\setminus (X\cap Y) \cup Z)\setminus ((X\cup Y)\setminus (X\cap Y)\cap Z) = (X\cup Y\cup Z) \setminus ((X\cap Y)\cup (X\cap Z) \cup (Y\cap Z)) \cup (X\cap Y \cap Z) = ((Y\cup Z) \setminus (X\cap Z) \cup X)\setminus ((Y\cup Z) \setminus (X\cap Z) \cap X) = (Y+Z)+X = X+(Y+Z)
Per Definition gilt 1\cdot X = X.
Für k=1 ist k\cdot (X+ Y) = 1\cdot (X+ Y) = X + Y = (1\cdot X)+ (1\cdot Y), für k = 0 gilt k\cdot (X+Y) = 0\cdot (X+Y) = \emptyset = (0\cdot X) + (0\cdot Y).
Für zwei Skalare h, k mit h=k gilt (k+h)\cdot X = 0\cdot X = \emptyset = k \cdot X + k\cdot X = k\cdot X+h\cdot X, andernfalls ist (k+h)\cdot X = 1\cdot X = 1\cdot X+0\cdot X = k\cdot X+h\cdot X.
Wenn h=k=1 gilt, ist (k\cdot h)\cdot X = 1\cdot X = 1\cdot (1\cdot X) = k\cdot (h\cdot X), sonst ist (k\cdot h)\cdot X = 0\cdot X = k\cdot (h \cdot X)