Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die Menge der Lösungen $(x,y,z)$ des reellen Gleichungssystems

$5x-3y+21z=0$

$3x + 7y + 12z=0$

$x-30y+6z=0$

einen Vektorraum bilden. Wie viele „Freiheitsgrade“ hat dieser Vektorraum?

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Mitglied

Iris

Das Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung $x=y=z=0$ , die Lösungsmenge enthält also nur den Nullvektor von $\mathbb{R}^3$ .
$\mathbb{R}^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$ . Da im Durchschnitt zweier komplementärer Unterräume nur der Nullvektor ist, kann nur $\{o\}$ ein komplementärer Unterraum zu $\mathbb{R}^3$ sein. Da jeder Unterraum mindestens einen komplementären Unterraum hat, ist $\{o\}$ ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$ und damit ein Vektorraum.
Dieser Vektorraum hat Dimension 0, also keinen Freiheitsgrad.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist alles richtig. Allerdings ist dein Beweis, dass $\{0\}$ ein Unterraum des $\mathbb{R}^3$ ist, etwas ungewöhnlich. 😉 Das folgt doch sofort aus $0-0=0$ und $k\cdot 0=0$ für alle $k\in \mathbb{R}$ .