Aufgabe 4

Welche der folgenden Teilmengen $U$ von $\mathbb{R}^n$ ist ein Vektorraum?

(1) $U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=x_2= \cdots = x_n\}$ ,

(2) $U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=1\}$ ,

(3) $U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=0\}$ ,

(4) $U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2=0\}$ ,

(5) $U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2-x_2^2=0\}$ ,

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Mitglied

Iris

Die Menge in (1) ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^n$ , denn sie enthält den Nullvektor, zu zwei Vektoren $u, v\in U$ ist auch $u+v=(u_1, u_2,\dots ,u_n)+(v_1,v_2,\dots ,v_n)=(u_1,u_1,\dots ,u_1)+(v_1,v_1,\dots, v_1)=(u_1+v_1, u_1+v_1,\dots,u_1+v_1)\in U$ und das skalare Vielfache $r\cdot u = r\cdot (u_1, u_2,\dots ,u_n)= r\cdot (u_1,u_1,\dots ,u_1) =(r\cdot u_1, r\cdot u_2, \dots, r\cdot u_1)$ mit $r\in \mathbb{R}$ ist ein Element von $U$ .
(2) ist kein Vektorraum, denn für $u, v\in U$ ist $u+v=(1, u_2, \dots, u_n)+(1, v_2,\dots,v_n)=(2, u_2+v_2,\dots,u_n+v_n)\notinU$ .
Die dritte Menge enthält den Nullvektor, für $u, v\in U$ gilt $u+v=(0, u_2,\dots u_n)+(0,v_2, \dots v_n)=(0,u_2+v_2,\dots,u_n+v_n)\in U$ und für $r\in R$ ist $r\cdot u=r\cdot (0, u_2, \cdot u_n)=(0, r\cdot u_2, \dots, r\cdot u_n)\in U$ . Also ist $U$ ein Unterraum von $\mathbb{R}^n$ und damit ein Vektorraum.
Wegen $x_1=0\Leftrightarrow x_1^2=0$ ist in (4) die gleiche Menge beschrieben wie in (3), deshalb ist diese Menge ebenfalls ein Vektorraum.
(5) ist kein Vektorraum; beispielsweise ist $(1, 1, u_3,\dots u_n)+(1, -1, v_3, \dots v_n)=(2, 0, u_3+v_3,\dots,u_n+v_n)\notin U$

Autor

Stefan Hartmann

Alles richtig.

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