04.05.201820.05.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 5

Zeigen Sie:

(a) Ist $g$ eine Gerade der euklidischen Ebene $\mathbb{R}^2$ durch den Nullpunkt, so ist $g$ ein Vektorraum.

(b) Sei $E$ eine Ebene des $\mathbb{R}^3$ durch den Nullpunkt. Dann ist $E$ ein Vektorraum.

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Mitglied

Iris

(a) $g$ lässt sich darstellen als die Menge aller Punkte $(x, y)$ , für die die Gleichung $ax+by=0$ erfüllt ist. Für zwei Punkte $(x, y)$ und $(x', y')$ auf $g$ liegt auch $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ auf $g$ , denn $a(x+x')+b(y+y')=ax+ax'+by+by'=(ax+by)+(ax'+by')=0+0=0$ . Für $r\in\mathbb{R}$ gilt $a\cdot(rx)+b\cdot(ry) = r\cdot(ax+by)=r\cdot 0=0$ , also liegt auch $r\cdot(x,y)=(r\cdot x,r\cdot y)$ auf $g$ . Da $g$ durch den Nullpunkt verläuft, liegt auch $(0,0)$ auf $g$ . Die übrigen geforderten Gesetze folgen aus den Gesetzen für $\mathbb{R}^2$ .
(b) $E$ ist die Menge aller Punkte $(x, y, z)$ , für die $ax+by+cz=0$ gilt. Um zu beweisen, dass $E$ ein Vektorraum ist, muss nur die Abgeschlossenheit gezeigt werden, denn $E$ enthält den Nullvektor, ist also nicht leer, und ist eine Teilmenge von $\mathbb{R}^3$ . Für $(x,y,z),(x',y',z')\in E$ ist auch $(x,y,z)+(x'y'z')=(x+x',y+y',z+z')\in E$ , denn es gilt $a(x+x')+b(y+y')+c(z+z') = ax+ax'+by+by'+cz+cz'=(ax+by+cz)+(ax'+by'+cz')=0+0=0$ . Außerdem ist $r\cdot (x,y,z) = (rx,ry,rz)\in E$ , denn $a\cdot(rx)+b\cdot(ry)+c\cdot(rz)=r(ax+by+cz)=r\cdot 0=0$ Also ist $E$ ein Vektorraum.

Autor

Stefan Hartmann

Ja, richtig.

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