Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(1) Man kann je zwei Vektoren eines Vektorraums addieren.
(2) Man kann einen Vektor 
durch einen Vektor 
dividieren, falls 
ist.
(3) Jeder Vektorraum hat ein eindeutiges Nullelement.
(4) Jeder Vektorraum hat ein eindeutiges Einselement.
(5) Wenn 
ein 
-Vektorraum ist, dann ist 
.
(6) Wenn ein -Vektorraum ist, dann ist 
.
(7) Für alle 
eines Vektorraums gilt 
(8) 
besteht aus allen 
-Tupeln reeller Zahlen.
(9) besteht aus -Tupeln von Vektoren.
Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume, wenn man die Addition und die Multiplikation komponentenweise definiert?
(1) Die Menge aller reellen Folgen der Länge 1000,
(2) die Menge aller endlichen reellen Folgen,
(3) die Menge aller unendlichen reellen Folgen,
(4) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die nur endlich viele von 
verschiedene Komponenten haben,
(5) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die unendlich viele von verschiedene Komponenten haben,
(6) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die nur endlich viele von 
verschiedene Komponenten haben.
Aussage (1) ist richtig; die Addition von Vektoren ist Teil der Definition eines Vektorraums. Die zweite Aussage ist falsch, denn in einem Vektorraum muss keine Multiplikation oder Division definiert sein. Die Existenz eines Nullelements gehört zur Definition eines Vektorraums. Für zwei Nullelemente eines Vektorraums gilt , also gibt es ein eindeutiges Nullelement und Aussage (3) ist richtig. Aussage (4) stimmt nicht, weil man die Elemente eines Vektorraums im Allgemeinen nicht miteinander multiplizieren kann, deshalb gibt es kein Einselement. Bei (5) und (6) sollte es heißen (zumindest steht es bei mir so im Buch und für Elemente verschiedener Vektorräume müsste man erstmal die Addition definieren). Dann ist (5) richtig, denn folgt aus der Abgeschlossenheit von bezüglich der Addition und da sich jeder Vektor als darstellen lässt, gilt auch . Die sechste Aussage ist falsch, weil gilt. Aussage (7) ist falsch, weil im Allgemeinen kein Produkt von Vektoren definiert ist. Aussage (8) ist richtig und (9) falsch, denn die Vektoren sind die Elemente von , also die -Tupel reeller Zahlen. Die erste Menge ist , also ein Spezialfall von und damit ein Vektorraum. Die zweite Menge ist kein Vektorraum, denn sie enthält underschiedlich lange Folgen, deshalb kann man die Addition nicht komponentenweise… Read more »
Bei (2) hast du bei einer 0 einen Strich vergessen, ansonsten ist alles korrekt. Stimmt, das war ein Schreib- und Copy&Paste-Fehler mit dem W. So, wie es bei den endlichen reellen Folgen steht, ist es kein Vektorraum, da hast du Recht. Üblicherweise meint man damit dann (4), was ein Vektorraum ist, wie du richtig schreibst und begründest.