Verständnisfrage 2 – Thema: Erzeugnis und lineare Unabhängigkeit

Welche Aussagen sind richtig bzw. wann?

(1) Die Vektoren v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n sind linear unabhängig, wenn eine Linearkombination von v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n den Nullvektor ergibt.
(2) Die Vektoren v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n sind linear unabhängig, wenn ihre Summe 0 ist.
(3) Der Nullvektor ist nur durch die triviale Linearkombination darstellbar.
(4) Der Nullvektor ist stets durch die triviale Linearkombination darstellbar.
(5) Ist B ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V, so ist jeder Vektor durch mindestens/genau/höchstens eine Linearkombination der Vektoren aus B darstellbar.
(6) Ist B eine Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraums V, so ist jeder Vektor durch mindestens/genau/höchstens eine Linearkombination der Vektoren aus B darstellbar.

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Stefan HartmannIris Letzte Kommentartoren
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Aussage (1) ist genau dann richtig, wenn genau eine Linearkombination von v_1, v_2, \dots, v_n den Nullvektor ergibt.
Die zweite Aussage ist nicht richtig, denn wenn die Summe der Vektoren v_1, v_2, \dots, v_n der Nullvektor ist, ergibt eine nichttriviale Linearkombination den Nullvektor und v_1, v_2, \dots, v_n sind linear abhängig.
Aussage (3) ist für linear unabhängige Vektoren richtig, für linear abhängige Vektoren nicht.
Aussage (4) stimmt .
Die fünfte Aussage stimmt, wenn man mindestens einsetzt und bei der sechsten muss man höchstens einsetzen. Wenn B eine Basis ist, kann man mindestens, genau oder höchstens einsetzen.