Sei 
ein Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(1) Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.
(2) Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig.
(3) Wenn eine Basis von unendlich ist, sind alle Basen von unendlich.
(4) Wenn eine Basis von endlich ist, sind alle Basen von endlich.
(5) Es gibt eine Basis der 
aus Vektoren der Form 
.
(6) Jede Basis des besteht aus Vektoren der Form .
(7) Jeder Vektor der Form kann zu einer Basis des ergänzt werden.
Wenn eine Teilmenge einer Menge von Vektoren linear abhängig ist, gibt es eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren aus , die den Nullvektor ergibt. Addiert man dazu die triviale Darstellung des Nullvektors mit den Vektoren aus , erhält man eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus , also ist linear abhängig. Also muss jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge linear unabhängig sein; Aussage (1) ist richtig. Aussage (2) ist falsch, denn sonst müsste insbesondere jede einelementige Teilmenge der Menge linear abhängig sein, ein einzelner Vektor ist aber nur dann abhängig, wenn er der Nullvektor ist. Die dritte und vierte Aussage ist richtig, denn wenn eine Basis von endlich ist, sind alle Basen von gleichmächtig und damit endlich. Ein Vektorraum kann also nur dann eine unendliche Basis haben, wenn alle Basen dieses Vektorraums unendlich sind. Aussage (5) ist falsch, weil eine Linearkombination von Vektoren der Form wieder von dieser Form ist, der aber auch andere Vektoren enthält, z. B. . Da es Basen des gibt und (5) falsch ist, ist (6) ebenfalls falsch. Aussage (7) ist falsch, denn der Nullvektor ist von dieser Form und linear abhängig, deshalb kann er nicht zu einer linear unabhängigen Menge und damit auch nicht… Read more »
Sehr gut! Vor allem, dass du nicht in die Falle in (7) hineingefallen bis (für x=0).