Verständnisfrage 6 – Thema: Nebenklassen

Sei $U$ ein Unterraum des Vektorraums $V$ . Welche Aussagen sind dann richtig?

(1) Jede Nebenklasse ist ein Unterraum.
(2) Jeder Unterraum ist eine Nebenklasse.
(3) Die leere Menge ist eine Nebenklasse.
(4) Es ist möglich, dass eine Nebenklasse von $U$ in $V$ in einer anderen enthalten ist.
(5) Zu jedem Unterraum gehören mindestens zwei Nebenklassen.
(6) Jeder Unterraum von $\mathbb{R}^3$ hat unendlich viele Nebenklassen.

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Mitglied

Iris

Aussage (1) ist falsch, denn ein Unterraum enthält immer den Nullvektor, eine Nebenklasse im Allgemeinen nicht.
Die zweite Aussage ist richtig; der Unterraum $U$ ist die Nebenklasse $o+U$ .
Die dritte Aussage ist falsch, weil eine Nebenklasse von $U$ gleichmächtig zu $U$ ist. Da jeder Unterraum mindestens ein Element enthält, muss eine Nebenklasse auch mindestens ein Element enthalten.
Aussage (4) ist falsch, denn die Nebenklassen von $U$ bilden eine Partition von $V$ .
Die letzten beiden Aussagen sind falsch, denn für $U=V$ hat $U$ nur eine Nebenklasse.

Autor

Stefan Hartmann

Auch alles richtig. Was wäre denn, wenn man in (6) schreiben würde: Jeder echte Unterraum von $\mathbb{R}^3$ hat unendlich viele Nebenklassen. Wäre das dann richtig?

Mitglied

Iris

Für $U\neq V$ gibt es mindestens einen Vektor $v\in V$ , der nicht in $U$ liegt. Dann ist $r\cdot v+U$ für alle $r\in \mathbb{R}$ eine Nebenklasse von $U$ . Diese Nebenklassen sind alle unterschiedlich, denn aus $r\neq r'$ folgt $r\cdot v-r'\cdot v = (r-r')\cdot v \notin U$ . Also wäre die Aussage richtig. Jeder echte Unterraum von $\mathbb{R}^3$ hat sogar überabzählbar unendlich viele Nebenklassen.

Autor

Stefan Hartmann

Genau!

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