Verständnisfrage 7 – Thema: Faktorraum

Ist der Faktorraum von $V$ nach $U$ ist

(1) eine Menge von Vektoren aus $U$ ,
(2) ein Unterraum von $V$ ,
(3) ein Vektorraum,
(4) eine Nebenklasse von $U$ ,
(5) eine Menge von Nebenklasse?

Welche der Aussagen sind korrekt?

(6) Aus $v+U=U$ folgt $v=0$ , weil $0+U=U$ gilt.
(7) Aus $v+U=U$ folgt $v=0$ , weil $v+U=0+U$ gilt.
(8) Aus $v+U=U$ folgt $v=0$ , weil man auf beiden Seiten $-U$ addieren kann.
(9) Aus $v+U=U$ folgt $v \in U$ .

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Mitglied

Iris

Der Faktorraum $V/U$ ist der Vektorraum der Nebenklassen von $U$ in $V$ , also treffen (3) und (5) zu.
Die Aussagen (1) und (2) sind falsch, weil die Elemente von $V/U$ Nebenklassen von $U$ und keine Vektoren aus $V$ sind.
Aussage (4) stimmt nicht, weil ein Faktorraum im Allgemeinen mehrere Nebenklassen enthält.
Aussage (9) ist richtig, denn eine Nebenklasse kann von jedem ihrer Elemente repräsentiert werden, die Aussagen (6) bis (8) sind falsch.

Autor

Stefan Hartmann

Du hast das Konzept sehr gut verstanden.

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