26.06.201826.06.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 11

Zeigen Sie: Je drei Vektoren der Menge $\{(1,x,x^2) \vert x \in K\}$ von $K^3$ sind linear unabhängig.

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Mitglied

Iris

Wenn die Aussage falsch wäre, müsste es drei unterschiedliche Elemente $x,y,z\in K$ und zwei Skalare $a,b$ geben, sodass $a\cdot (1,x,x^2)+b\cdot(1,y,y^2)=(1,z,z^2)$ gilt. Daraus folgt $a+b=1\Leftrightarrow b=1-a$ . Es muss $a\neq 0$ gelten, denn sonst wäre $b=1$ und $y=z$ . Außerdem muss $a\neq 1$ sein, weil sonst $b=1$ und $x=z$ wäre.
Aus $a\cdot (1,x,x^2)+b\cdot(1,y,y^2)=(1,z,z^2)$ folgt $ax+by=z$ und $ax^2+by^2=z^2= (ax+by)^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2 \Leftrightarrow (a-1)ax^2+2abxy+(b-1)by^2=0$
Einsetzen von $b=1-a$ ergibt $(a-1)ax^2+2a(1-a)xy-a(1-a)y^2=(a-1)ax^2-2a(a-1)xy+a(a-1)y^2=0$
Da $a\neq 0,1$ gilt, folgt $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=0 \Leftrightarrow x=y$ , was der Annahme widerspricht. Also muss die zu zeigende Aussage wahr sein.

Autor

Stefan Hartmann

Du hast einmal $b=1$ anstatt $b=0$ geschrieben, ansonsten stimmt es. Wenn man diese Rechnerei sieht, weiß man dann doch, warum Determinanten hilfreich sind. Hier handelt es sich um die Vandermondsche Determinante und es gilt für die Matrix A mit $A= \left(\begin{array}{ccc}{1 &x &x^2 \\ 1 &y &y^2 \\ 1 &z &z^2} \end{array} \right)$ : $det(A) = (z-y) \cdot (z-x) \cdot (y-x)$ , woraus sofort die Behauptung folgt. Aber das kommt erst in Kapitel 7.

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