Aufgabe 12

Beweisen Sie folgende Aussagen. Sei V ein K-Vektorraum.

(a) Für alle k \in K, \ v\in V gilt

k \cdot 0 = 0   und   (-k)\cdot v = -(k \cdot v) = k \cdot (-v).

[Überlegen Sie zunächst, in welchen Strukturen das Minuszeichen was bedeutet.]

(b) Für alle k_1,\ k_2 \in K und alle v \in V mit v \ne 0 gilt:

k_1\cdot v= k_2 \cdot v \Leftrightarrow k_1=k_2.

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Stefan HartmannIris Letzte Kommentartoren
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Iris

(a) Für alle v\in V gilt v+o=v. Daraus folgt k\cdot v =k\cdot(v+o)=k\cdot v+k\cdot o \Leftrightarrow k\cdot o=0.
k\cdot v+k\cdot(-v) = k\cdot (v-v)=k\cdot o=o=0\cdot v=(k+(-k))\cdot v=k\cdot v + (-k)\cdot v =k\cdot v +(-(k\cdot v))\Leftrightarrow k\cdot(-v)=-(k\cdot v)=(-k)\cdot v.

(b) k_1\cdot v=k_2\cdot v \Leftrightarrow k_1\cdot v-k_2\cdot v=(k_1-k_2)\cdot v=o
Da v\neq o ist, muss k_1-k_2=0 gelten, daraus folgt k_1=k_2. Umgekehrt folgt aus k_1=k_2 direkt k_1\cdot v = k_2\cdot v