Aufgabe 13

Zeigen Sie: Wenn $v_1,\ldots,v_n$ Elemente eines $K$ -Vektorraums $V$ sind, dann gilt:

(a) Die Summer je zweier Vektoren aus $\langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ liegt wieder in $\langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ .

(b) Das Produkt eines Skalars $k$ mit einem Vektor aus $\langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ liegt wieder in $\langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ .

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Mitglied

Iris

(a) Wenn $w_1,w_2\in \langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ gilt, existieren Skalare $h_i,k_i \in K$ , sodass $w_1=h_1v_1+h_2v_2+\dots+h_nv_n$ und $w_2=k_1v_1+k_2+v_2+\dots+k_nv_n$ gilt. Dann ist $w_1+w_2=h_1v_1+h_2v_2+\dots+h_nv_n+k_1v_1+k_2+v_2+\dots+k_nv_n=(h_1+k_1)v_1+(h_2+k_2)v_2+\dots+(h_n+k_n)v_n\in \langle v_1,\ldots, v_n \rangle$

(b) Für $w\in\langle v_1,\ldots, v_n \rangle$ existieren $h_i\in K$ mit $w=h_1v_1+h_2v_2+\dots +h_nv_n$ Daraus folgt $k\cdot w =(k\cdot h_1)v_1+(k\cdot h_2)v_2+\dots+(k\cdot h_n)v_n\in \langle v_1,\ldots, v_n \rangle$

Autor

Stefan Hartmann

Richtig.

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