Aufgabe 14

Beweisen Sie. Sei B eine Menge von Vektoren eines Vektorraums V. Dann gilt: Genau dann ist B eine Basis von V, wenn B ein minimales Erzeugendensystem ist.

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Stefan HartmannIris Letzte Kommentartoren
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Eine Basis ist per Definition ein Erzeugendensystem, also ist nur die Minimalität zu zeigen.
Angenommen, eine Basis B wäre nicht minimal, dann gäbe es eine echte Teilmenge B' \subset B mit \langle B'\rangle=V. Da B' eine echte Teilmenge von B ist, existiert b\in B\setminus B'. Wegen b\in V= \langle B' \rangle lässt sich b als Linearkombination der Vektoren in B' darstellen, also ist B linear abhängig. Das steht aber im Widerspruch zu der Annahme, dass B eine Basis ist, folglich ist jede Basis ein minimales Erzeugendensytem.
Wäre umgekehrt ein minimales Erzeugendensystem B linear abhängig, dann gäbe es ein b\in B, das als Linearkombination der übrigen Vektoren in B dargestellt werden kann. Daraus folgt \langle B\rangle=\langle B\setminus \{b\} \rangle, was der Minimalität von B widerspricht. Also muss ein minimales Erzeugendensystem linear unabhängig und damit eine Basis sein.