26.06.201826.06.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 15

Sei $K$ ein Körper, und sei $n \in \mathbb{N}$ .

(a) Zeigen Sie, dass die Menge der Einheitsvektoren $e_1=(1,0,0,\ldots,0)$ , $e_2=(0,1,0,\ldots,0)$ , $\ldots$ , $e_n=(0,0,\ldots,0,1)$ eine Basis von $K^n$ ist.

(b) Welche Dimension hat $K^n$ ?

(c) Gibt es eine Basis $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ von $K^n$ , bei der $v_i$ genau $i$ von $0$ verschiedene Komponenten hat?

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Mitglied

Iris

(a) Für eine Linearkombination der Einheitsvektoren gilt $k_1\cdot e_1+k_2\cdot e_2+\dots +k_n\cdot e_n=(k_1, k_2,\dots,k_n)$ . Der Nullvektor lässt sich damit nur darstellen, wenn $k_1=k_2=\dots =k_n=0$ ist, also durch die triviale Darstellung. Deshalb ist die Menge der Einheitsvektoren linear unabhängig. Außerdem kann jeder Vektor $(v_1,v_2,\dots,v_n)\in K^n$ als Linearkombination der Einheitsvektoren dargestellt werden, denn $(v_1,v_2,\dots,v_n) = v_1\cdot e_1+v_2\cdot e_2+\dots+v_n\cdot e_n$ . Folglich bilden die Einheitsvektoren ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis.

(b) Die $n$ Einheitsvektoren bilden eine Basis von $K^n$ , also hat der Vektorraum die Dimension $n$ .

Autor

Stefan Hartmann

Richtig.

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