Sei 
der 
-Vektorraum aller Teilmengen einer 
-elementigen Menge 
(vergleichen Sie Abschn. 3.2.8).
(a) Sei 
die Menge aller Teilmengen von , die eine gerade Anzahl von Elementen besitzen. Zeigen Sie: ist ein Unterraum von .
(b) Sei 
eine Teilmenge von ungerader Mächtigkeit. Zeigen Sie, dass zusammen mit bereits ganz erzeugt. Ist eine Hyperebene von ?
(c) Wie viele Elemente hat ? Wie viele Elemente von liegen außerhalb von ? Interpretieren Sie diese Tatsache als Aussage über die Teilmengen einer endlichen Menge.
(a) enthält den Nullvektor, denn die leere Menge enthält 0 Elemente, also eine gerade Anzahl. Das skalare Vielfache eines Vektors liegt wieder in , denn es ist entweder oder . Außerdem ist wegen auch . Sind und zwei Teilmengen von mit gerader Mächtigkeit, dann gilt für ihre symmetrische Differenz . Da die Summanden alle gerade sind, muss ihre Summe ebenfalls gerade sein, also ist von gerader Mächtigkeit. Folglich ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen. (b) Für jedes ist von gerader Mächtigkeit, also ein Element von , Dann liegt im Erzeugnis von und . Ist , dann ist in und liegt ebenfalls im Erzeugnis von und . und erzeugen alle einelementigen Teilmengen von und damit auch . ist eine Hyperebene von . (c) Um eine Teilmenge von mit geradzahliger Mächtigkeit zu erhalten, kann man bei den ersten Elementen von wählen, ob sie in der Menge enthalten sein sollen, und bei einer ungeraden Anzahl von Elementen noch das letzte Element hinzunehmen. Bei den ersten Elementen hat man je zwei Wahlmöglichkeiten, beim letzten Element keine. Es gibt also Teilmengen mit gerader Mächtigkeit. Da insgesamt Teilmengen hat, gibt es Teilmengen von mit ungerader Mächtigkeit. Also hat Elemente, ebenso wie . Von den Teilmengen einer -elementigen… Read more »
Liebe Iris,
Elemente besitzt. LG, Stefan
entschuldige bitte die extrem späte Antwort. Alles richtig. (c) ist natürlich auch sofort klar aus (b), da du ja schon gezeigt hast, dass W eine Hyperebene von V ist und daher die Dimension n-1 haben muss, also