Aufgabe 19

Beweisen Sie folgendes (außerordentlich nützliches!) Unterraumkriterium: Sei $U$ eine Teilmenge eines $K$ -Vektorraums $V$ . Wenn gilt

$U \ne \emptyset$ .
für alle $k \in K$ und $u \in U$ gilt $k \cdot u \in U$ ,
für alle $u,\ u' \in U$ ist $u-u' \in U$ ,

dann ist $U$ ein Unterraum von $V$ .

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Mitglied

Iris

Wenn $U$ eine nichtleere Teilmenge von $V$ ist, muss nur die Abgeschlossenheit von $U$ bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation gezeigt werden, um zu beweisen, dass $U$ ein Vektorraum ist; die anderen Gesetze folgen aus den entsprechenden Gesetzen in $V$ . Die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation wird im Unterraumkriterium gefordert, insbesondere ist für $u\in U$ auch $-1\cdot u=-u\in U$ . Für $u, u'\in U$ ist $-u'\in U$ , also ist auch $u-(-u')=u+u'\in U$ und $U$ ist bezüglich der Addition abgeschlossen. Da $U$ eine Teilmenge von $V$ ist und mit den Verknüpfungen in $V$ einen Vektorraum bildet, ist $U$ ein Unterraum von $V$ .