26.06.201826.06.2018 von Stefan Hartmann

Aufgabe 22

Sei $V$ die Menge aller Abbildungen von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ .

(a) Zeigen Sie: Wenn man eine Addition und eine skalare Multiplikation auf $V$ wie folgt definiert:

$(f+g)(r):=f(r) + g(r)$ , $(a\cdot f)(r):=a \dot f(r)$ für alle $r \in \mathbb{R}$ ( $f,g\in V, \ a \in \mathbb{R}$ ),

so wird $V$ zu einem $\mathbb{R}$ -Vektorraum.

(b) Wir definieren:

$W:= \{f \in V \vert f(1)=0 \ {\rm und} \ f(-1)=0\}$ .

Zeigen Sie: $W$ ist ein Unterraum von $V$ .

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Mitglied

Iris

(a) Der Nullvektor in $V$ ist $o(x) =0$ , denn für alle $f\in V$ gilt $(f+o)(x)=(o+f)(x)=f(x)+o(x)=f(x)+0=f(x)$ , der negative Vektor zu $f(x)$ ist $(-f)(x)=-f(x)$ . Für jede Abbildung $f$ gilt $(1\cdot f)(x)=1\cdot f(x) = f(x)$ .
Bei der Addition und der skalaren Multiplikation werden die entsprechenden Operationen für alle $r\in \mathbb{R}$ auf $f(r)$ angewendet, also auf reelle Zahlen. Deshalb folgen Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze aus den Gesetzen für reelle Zahlen.

(b) $W$ enthält den Nullvektor, denn $o(1)=o(-1)=0$ . Für alle $f\in W$ und $r\in \mathbb{R}$ gilt $(r\cdot f)(1) = r\cdot f(1) =r\cdot 0=0=r\cdot f(-1)=(r\cdot f)(-1)$ .
Für beliebige $f,g\in W$ ist $(f-g)(1)=f(1)-g(1)=0-0=0$ und $(f-g)(-1)=f(-1)-g(-1)=0-0=0$ , also liegt auch $(f-g)\in W$ . Mit dem Unterraumkriterium aus Aufgabe 19 ist $W$ folglich ein Unterraum von $V$ .

Autor

Stefan Hartmann

Ja, das ist alles richtig und auch gut und hinreichend ausführlich aufgeschrieben. Prima!

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