Aufgabe 24

Seien $U$ und $U'$ Unterräume eines $K$ -Vektorraums $V$ .

(a) Zeigen Sie: Die Menge

$U+U':=\{u + u' \vert u \in U,\ u' \in U'\}$ (die Summe von $U$ und $U'$ )

ist ein Unterraum von $V$ .

(b) Gilt $U+U'=\langle U,U'\rangle$ ?

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Mitglied

Iris

(a) Sowohl $U$ als auch $U'$ enthalten den Nullvektor, wegen $o+o=o$ gilt das auch für $U+U'$ .
Jeder Vektor $v\in U+U'$ lässt sich als $v=u+u'$ mit $u\in U$ und $u'\in U'$ darstellen. Für einen beliebigen Skalar $k$ gilt $k\cdot u\in U$ und $k\cdot u'\in U'$ , also ist auch $k\cdot v=k\cdot (u+u')=k\cdot u+ k\cdot u'\in U+U'$ . Für zwei Vektoren $v_1=u_1+u_1'$ und $v_2=u_2+u_2'$ mit $u_1,u_2\in U$ und $u_1',u_2'\in U'$ gilt $u_1-u_2\in U$ und $u_1'-u_2'\in U'$ , folglich gilt $v_1-v_2=u_1+u_1'-(u_2+u_2')=u_1-u_2+u_1'+u_2'\in U+U'$