Aufgabe 26

Zeigen Sie: Seien $U$ und $U'$ komplementäre Unterräume des Vektorraums $V$ . Wenn $B$ eine Basis von $U$ und $B'$ eine Basis von $U'$ ist, dann ist $B \cup B'$ eine Basis von $V$ .

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Mitglied

Iris

Da $U$ und $U'$ komplementäre Unterräume von $V$ sind, gilt $\langle U,U'\rangle = V$ .
$B$ erzeugt $U$ und $B'$ erzeugt $U'$ , deshalb ist $B \cup B'$ ein Erzeugendensystem von $V$ .
Sei $h_1v_1+h_2v_2+\dots +h_nv_n + k_1v_1'+k_2v_2'+\dots +k_mv_m' = o$ mit $v_i \in B$ und $v_i' \in B'$ eine Linearkombination des Nullvektors, dann gilt $h_1v_1+h_2v_2+\dots +h_nv_n = -k_1v_1'-k_2v_2'-\dots -k_mv_m'$ , wobei $h_1v_1+h_2v_2+\dots +h_nv_n \in U$ und $-k_1v_1'-k_2v_2'-\dots -k_mv_m' \in U'$ ist. Da $U$ und $U'$ komplementäre Unterräume sind, ist $U\cap U'=\{o\}$ , deshalb muss $h_i=k_i=0$ sein. Der Nullvektor lässt sich also nur durch die triviale Linearkombination der Vektoren aus $B\cup B'$ darstellen, also sind diese linear unabhängig. Damit ist $B\cup B'$ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von $V$ .

Autor

Stefan Hartmann

Ich hätte noch deutlicher geschrieben, dass $h_1v_1+h_2v_2+\cdots+h_nv_n \in U\cap U'$ und daher gleich $0$ ist. Das „denkt“ man sich zwar aus deinen Worten, aber ich würde hier einfach ein paar mehr Schritte klarer aufschreiben. Trotzdem gut.

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