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Stefan HartmannMaja1111 Letzte Kommentartoren
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Maja1111
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Maja1111

iii)
1) sei y\inf^-1( N1 \cup N2). Es gibt also ein y \in N1 \cup N2 mit f(y)=x.
Ist y \in N1, dann gilt: f(y) \in f^-1(N1). Ist y \in N2, dann gilt: f(y) \in f^-1(N2).
In beiden Fällen gilt somit x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2).
q.e.d.
2) sei x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2), dann gilt: x\in f^-1 (N1) oder f^-1(N2). Im ersten Fall gibt es ein y \in N1 mit f(y)=x. Im zweiten Fall gibt es ein y \in N2 mit f(y)=x.
In beiden Fällen gibt es also ein y\in f^-1( N1 \cup N2) mit f(y)=x
also y\in f^-1(N1 \cup N2)
q.e.d.

Maja1111
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Maja1111

iii)
1) sei x\inf^-1( N1 \cup N2). Es gibt also ein f(x) \in (N1 \cup N2), also f(x) \in N1 oder f(x) \in N2
also x\in f^-1 (N1) oder x \in f^-1 (N2), was wiederum bedeutet x \in f^-1 (N1) \cup f^-1 (N2)
q.e.d.
2) sei x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2). Es gibt also ein x\in f^-1 (N1) oder x \in f^-1 (N2), also f(x) \in N1 oder f(x) \in N2
dies ist gleichbedeutend mit f(x) \in (N1 \cup N2), daraus folgt x\in f^-1(N1 \cup N2)
q.e.d.

Maja1111
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Maja1111

ii)
1) Es sei y \in f(M1 \cap M2). Es gibt also ein x \in M1 \cap M2 mit f(x) = y.
Da x \in M1 und x \in M2, folgt daraus y \in f(M1) \cap f(M2)
q.e.d.
2) Es sei y \in f(M1) \cap f(M2). Es gibt also ein x \in M1 und x \in M2.
Aus x \in M1 \cap M2 mit f(x) = y, folgt y \in f(M1 \cap M2).
q.e.d.

Maja1111
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Maja1111

iv)
1) sei x \in f^-1 (N1 \cap N2), also f(x) \in N1 und f(x) \in N2, also x \in f^-1 (N1) und x \in f^-1 (N2). woraus wiederum x \in f^-1 (N1) \cap f^-1 (N2) folgt.
q.e.d.
2) sei x \in f^-1 (N1) \cap f^-1 (N2), also x \in f^-1 (N1) und x \in f^-1 (N2), also f(x) \in N1 und f(x) \in N2, folgt daraus x \in f^-1 (N1 \cap N2).
q.e.d.