15.07.201917.07.2019 von Stefan Hartmann

Aufgabe 2

Es sei $f: X \to Y$ eine Abbildung zwischen Mengen. Man zeige für Teilmengen $M_1,\, M_2 \subset X$ und $N_1,\, N_2 \subset Y$ :

(i) $f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2)$

(ii) $f(M_1\cap M_2) \subset f(M_1) \cap f(M_2)$

(iii) $f^{-1}(N_1 \cup N_2) = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2)$

(iv) $f^{-1}(N_1 \cap N_2) = f^{-1}(N_1) \cap f^{-1}(N_2)$

Gilt in (ii) sogar Gleichheit?

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Maja1111

iii)
1) sei $y\in$ $f^-1$ ( $N1 \cup N2$ ). Es gibt also ein $y \in N1 \cup N2$ mit f(y)=x.
Ist $y \in N1$ , dann gilt: $f(y) \in f^-1(N1)$ . Ist $y \in N2$ , dann gilt: $f(y) \in f^-1(N2)$ .
In beiden Fällen gilt somit $x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2)$ .
q.e.d.
2) sei $x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2)$ , dann gilt: $x\in f^-1 (N1) oder f^-1(N2)$ . Im ersten Fall gibt es ein $y \in N1$ mit f(y)=x. Im zweiten Fall gibt es ein $y \in N2$ mit f(y)=x.
In beiden Fällen gibt es also ein $y\in$ $f^-1$ ( $N1 \cup N2$ ) mit f(y)=x
also $y\in$ $f^-1$ ( $N1 \cup N2$ )
q.e.d.

Autor

Stefan Hartmann

Hier verwechselst du ein paar Mal Bild und Urbild. Mach dir immer klar, wo du dich gerade befindest, im Urbildraum oder im
Bildraum. Grundsätzlich würde ich dir empfehlen, Variablen im Urbildraum mit $x$ und im Bildraum mit $y$ zu bezeichnen. Das ist kein mathematisches Gesetz, aber eine übliche Konvention. Ich werde jetzt zu beiden Aufgabenteilen noch Genaueres schreiben. 😊

Autor

Stefan Hartmann

Zu 1) Grundsätzlich ist es richtig ein Element aus $f^{-1}(N_1\cup N_2)$ zu wählen. Dieses Element liegt im Urbildraum, also empfehle ich dieses mit $x$ zu bezeichnen. Sei also $x \in f^{-1}(N_1\cup N_2)$ . Was heißt das? Es liegt im Urbild von $N_1\cup N_2$ . Das bedeutet: Wenn ich es unter $f$ abbilde, lande ich in $N_1\cup N_2$ . Formal aufgeschrieben: Daraus folgt; $f(x)\in N_1\cup N_2$ , also $f(x)\in N_1$ oder $f(x)\in N_2$ . Und dies wiederum ist äquivalent zu $x\in f^{-1}(N_1)$ oder $x\in f^{-1}(N_2)$ , also zu $x\in f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2)$ .

Die Rückrichtung 2) geht nun, indem du alle Beweisschritte genau umgekehrt noch einmal aufschreibst. Da alle Aussagen äquivalent sind, hätte man das auch alles direkt mit Äquivalenzen aufschreiben können. Ich empfehle das aber zu Beginn nicht, da sich dann meist Fehler einschleichen. Im Moment ist es besser für dich beide Richtungen getrennt zu beweisen, so wie du es auch versucht hast. Möchtest du 2) noch einmal versuchen? 😊

Autor

Stefan Hartmann

Bei dir stimmt schon der Schritt „Es gibt also ein $y \in N1 \cup N2$ mit $f(y)=x$ “ nicht, das ist nicht die Definition von $y \in f^{-1}(N_1\cup N_2)$ . Ist dir das jetzt klar?

Mitglied

Maja1111

iii)
1) sei $x\in$ $f^-1$ ( $N1 \cup N2$ ). Es gibt also ein f(x) $\in (N1 \cup N2$ ), also f(x) $\in N1$ oder f(x) $\in N2$
also $x\in f^-1 (N1)$ oder $x \in f^-1 (N2)$ , was wiederum bedeutet $x \in f^-1 (N1) \cup f^-1 (N2)$
q.e.d.
2) sei $x \in f^-1(N1) \cup f^-1(N2)$ . Es gibt also ein $x\in f^-1 (N1)$ oder $x \in f^-1 (N2)$ , also f(x) $\in N1$ oder f(x) $\in N2$
dies ist gleichbedeutend mit f(x) $\in (N1 \cup N2$ ), daraus folgt $x\in$ $f^-1$ ( $N1 \cup N2$ )
q.e.d.

Autor

Stefan Hartmann

Sehr gut. 👍 Nur das „es gibt ein $f(x)$ “ ergibt keinen Sinn. Du wählt ja vorher das $x$ aus dem Urbild von $N_1 \cup N_2$ . Und damit folgt genau für dieses $x$ die Beziehung $f(x) \in N_1\cup N_2$ , da brauchst du keine Existenzaussage mehr. Klar?

Mitglied

Maja1111

ii)
1) Es sei $y \in f(M1 \cap M2)$ . Es gibt also ein $x \in M1 \cap M2$ mit f(x) = y.
Da $x \in M1$ und $x \in M2$ , folgt daraus $y \in f(M1) \cap f(M2)$
q.e.d.
2) Es sei $y \in f(M1) \cap f(M2)$ . Es gibt also ein $x \in M1$ und $x \in M2$ .
Aus $x \in M1 \cap M2$ mit f(x) = y, folgt $y \in f(M1 \cap M2)$ .
q.e.d.

Autor

Stefan Hartmann

1) ist vollkommen richtig. 👏 2) war gar nicht zu zeigen, es war ja nur die eine Inklusion zu zeigen. Es stimmt auch im Allgemeinen gar nicht. Versuche mal ein Gegenbeispiel zu finden. Also muss auch an deinem Beweis etwas falsch sein. Möchtest du selbst versuchen den Fehler zu finden oder soll ich dir den Fehler nennen? 😊

Mitglied

Maja1111

Ein Beispiel, warum ich mich in 2) geirrt habe, ist: $y = -1^x$ mit den Mengen M1 $\{ 3,4\}$ und M2 $\{3,5,6 \}$ . Bei $y \in f(M1 \cap M2)$ , ist $\in (\{ -1\})$ und bei $y \in f(M1) \cap f(M2)$ ist $y \in (\{-1, 1 \})$ .
Der Fehler war folglich die Annahme, dass $x \in M1 \cap M2$ ist.

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Maja, grundsätzlich super! Hier aber noch ein paar formale Fehler und Ungenauigkeiten: Zunächst Solltest du die Mengen $X$ und $Y$ genau benennen, auf denen du die Funktion betrachtest. Hier könntest du beispielsweise $X=\mathbb{N}$ und $Y=\{-1,1\}$ nehmen. Für ein Beispiel musst du immer alles genau spezifizieren. Du kannst $X$ und $Y$ auch anders wählen, aber irgendwie musst du sie schon wählen. Dann musst du $f$ benennen. Du schreibst $y=-1^x$ , was formal in Ordnung ist. Da es aber hier um eine Abbildung $f$ geht, sollte man sie auch mit $f$ bezeichnen, also $f(x)=-1^x$ . Allerdings stimmt die Abbildung so nicht. Die Potenz hat höhere Priorität als das Vorzeichen, so dass beispielsweise $f(x)=-1^2 = -1$ gilt. Genauer gilt sogar $f(x)=-1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ , und das ist sicherlich nicht das, was du beabsichtigt hattest. 😉 Du meinst stattdessen $f(x)=(-1)^x$ , und dann stimmt es. Weiterhin kannst du den Ausdruck $\in (\{-1\})$ nicht einfach so hinschreiben. Weder ist klar, was die runden Klammern da sollen noch steht da ein vollständiger mathematischer Ausdruck. Richtig muss es lauten: In diesem Fall ist $f(M_1 \cap M_2) = \{-1\}$ . Und auch danach stimmt die Schreibweise wieder nicht. Richtung lautet es: Andererseits ist aber $f(M_1) \cap f(M_2) = \{-1,1\}$ .

Mitglied

Maja1111

Ein Beispiel, warum ich mich in 2) geirrt habe:
Sei X = $\{ 3,4\}$ und Y = $\{3,5,6 \}$ mit $f(x) = (-1)^x$ . Einerseits resultiert aus $y \in f(X \cap Y)$ , dass $y \in \{ -1\}$ gilt und andererseits ist $y \in f(X) \cap f(Y)$ mit $y \in \{-1, 1 \}$ .
Zwar gibt es ein $x1 \in X$ mit $f(x1) = y$ und ein $x2 \in Y$ mit $f(x2) = y$ , aber daraus lässt sich nicht $x1 = x2$ folgern.

Autor

Stefan Hartmann

Nee, so war es nicht gemeint. 😉 Im Prinzip war ja deine Lösung richtig und $M_1$ und $M_2$ (beides Mengen im Urbildbereich) richtig gewählt. Aber zu einer Abbildung $f$ gehört immer die Angabe eines Definitionsbereichs $X$ und eines Bildbereichs (oder Wertebereichs) $Y$ . Du könntest es beispielsweise so aufschreiben. Es sei $f:X\to Y$ mit $X:={\mathbb N}$ und $Y:=\{-1,1\}$ definiert durch $f(x):=(-1)^x$ für alle $x\in X$ . Wir wählen nun $M_1:=\{3,4\}$ und $M_2:=\{3,5,6\}$ . Dann gilt $f(M_1 \cap M_2)=\{f(3)\}=\{-1\}$ , aber $f(M_1) \cap f(M_2)= \{-1,1\} \cap \{-1,1\} =\{-1,1\}$ .

Schau es dir bitte noch einmal genau an im Vergleich mit deiner Lösung. Du musst erst die Abbildung $f:X\to Y$ genau definieren und dann $M_1$ und $M_2$ als Teilmengen von $X$ geeignet wählen.

Ist es jetzt klarer geworden? 😊

Autor

Stefan Hartmann

Deinen Fehler hast du richtig erkannt, aber auch nicht gut aufgeschrieben. Besser so:. Zwar gibt es ein $x_1 \in M_1$ mit $f(x_1)=y$ und ein $x_2 \in M_2$ mit $f(x_2)=y$ , aber wir können nicht $x_1=x_2$ folgern. ingesamt hast du das gut verstanden und ein schönes Gegenbeispiel konstruiert, aber an der exakten Darstellung und dem Aufschreiben müssen und werden wir weiter üben. 🙂

Mitglied

Maja1111

iv)
1) sei $x \in f^-1 (N1 \cap N2)$ , also $f(x) \in N1$ und $f(x) \in N2$ , also $x \in f^-1 (N1)$ und $x \in f^-1 (N2)$ . woraus wiederum $x \in f^-1 (N1) \cap f^-1 (N2)$ folgt.
q.e.d.
2) sei $x \in f^-1 (N1) \cap f^-1 (N2)$ , also $x \in f^-1 (N1)$ und $x \in f^-1 (N2)$ , also $f(x) \in N1$ und $f(x) \in N2$ , folgt daraus $x \in f^-1 (N1 \cap N2)$ .
q.e.d.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist sehr schön so! Richtig gut!

Bei 2) würde ich, auch wenn es trivial ist, vor dem letzten Schritt noch „und somit $f(x) \in N_1 \cap N_2$ “ ergänzen. Damit ist der Beweis auf dem Niveau vollständig. (Mir ist klar, dass das alles klar ist. ;-))

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