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Stefan HartmannLeonaMaja1111 Letzte Kommentartoren
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Maja1111
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Maja1111

ii)
1) sei x \in A \cup (B \cap C), also x \in A oder x \in B \cap C,
gilt x \in A, dann auch x \in A \cup B und x \in A \cup C,
gilt x \in B \cap C, dann auch x \in A \cup B und x \in A \cup C.
somit gilt x \in A \cup B und x \in A \cup C,
also x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)
q.e.d.

2) sei x \in (A \cup B) \cap (A \cup C), dann gilt x \in A \cup B und x \in A \cup C.
Falls x \in A, dann gilt auch x \in A \cup (B \cap C).
Falls x \notin A, dann folgt aus x \in (A \cup B) , dass x \in B und aus x \in (A \cup C), dass x \in C, somit gilt x \in A \cup (B \cap C)
also gilt x \in A \cup (B \cap C)
q.e.d.

Leona
Webmaster
Leona

Du musst die Mathe befehle in Dollarzeichen setzen, um den Mathmode zu aktivieren. Im Kommentar funktioniert es zumindest, wenn ich das schreibe. Versuch du mal das zu ändern oder neu zu posten.

Maja1111
Mitglied
Maja1111

iii)
1) sei x \in A \setminus (B \cup C), d.h. x \in A ohne B \cup C, also x \in A und x \notin B \cup C, also x \notin B und x \notin C.
Somit ist x \in (A \setminus B) und x \in (A \setminus C),
also x \in (A \setminus B) \cap  (A \setminus C) q.e.d.

2) sei x \in (A \setminus B) \cap  (A \setminus C), also x \in (A \setminus B) und (A \setminus C)
da x \in (A\setminus B) und x\in (A \setminus C), gilt x \in A, also x \notin B und x \notin C, also x \notin B \cup C
also x \in A \setminus (B \cup C) q.e.d.

Maja1111
Mitglied
Maja1111

iv)
1) sei x \in A \setminus (B \cap C), d.h. x \in A ohne B \cap C, also x \in A und x \notin B \cap C
also x \notin B oder x \notin C.
somit ist x \in (A \setminus B) oder x \in (A \setminus C),
also x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C) q.e.d.

2) sei x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C), also x \in (A \setminus B) oder x \in (A \setminus C)
Im ersten Fall ist x\in A und x\notin B, im zweiten Fall ist x\in A und x\notin C. Also muss x\in A gelten und zusätzlich x\notin B oder x\notin C, also x\in A und x\notin (B \cap C).
Dies bedeutet x \in A \setminus (B \cap C) q.e.d.

Leona
Webmaster
Leona

(i) Wir zeigen zwei Richtungen.

Teil 1: Wir beweisen zunächst (A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C).
Sei x\in (A\cap B)\cup(A\cap C) beliebig. Wir werden zeigen, dass nun auch x\in  A\cap(B\cup C) gelten muss. Dies zeigt dann unsere erste Behauptung.
Da x\in (A\cap B)\cup(A\cap C) folgt, dass x\in (A\cap B) oder x\in (A\cap C). Somit gilt sicher x\in A und (x\in B oder x\in C). Daraus folgt auch schon x\in A\cap (B\cup C). Dies zeigt Teil 1.

Teil 2: Wir beweisen nun A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C).
Sei x\in A\cap(B\cup C) beliebig. Wir zeigen, dass nun auch x\in (A\cap B)\cup(A\cap C). Daraus folgt Teil 2.
Da x\in A\cap(B\cup C) folgt, dass x\in A und x\in B\cup C, d.h. x\in B oder x\in C. Also folgt, dass (x\in A und x\in C) oder (x\in A und x\in B) gelten muss.
Es folgt x\in A\cap C oder x\in A\cap B, also insgesamt x\in (A\cap C)\cup (A\cap B).
Dies beweist Teil 2.

Aus Teil 1 folgt
(A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C),
Teil 2 gibt uns
A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C),
also muss insgesamt
(A\cap B)\cup(A\cap C)= A\cap(B\cup C)
gelten, was unsere Behauptung ist.

Leona
Webmaster
Leona

Gruppenarbeit vom 11.04.2020 🙂