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LeonaStefan HartmannMaja1111 Letzte Kommentartoren
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Maja1111
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Maja1111

i) Sei X \in \mathbb{N} und Y \in \mathbb{Z}. Bei f(x) = (-1)^x * x gibt es eine bijektive Abbildung von \mathbb{N} nach \mathbb{Z} unter der Bedingung, dass es für alle y \in Y genau ein x \in X mit f(x) = y gibt.

Maja1111
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Maja1111

Sei X = \mathbb{N} und Y = \mathbb{N} * \{ 1,2,...,n \}. Man bilde 1 \to (1,1), 2 \to (1,2), 3 \to (1,3), n \to (1,n) ab.
injektiv zz.: f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
surjektiv zz.: f(Y) = x
da injektiv und surjektiv erfüllt sind, ist die Abbildung bijektiv.

Maja1111
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Maja1111

iv)
Die Abbildung von \mathbb{N} -> \mathbb{Q} lautet: 1->0 , 2->1 , 3->(-1) , 4->1/2 , 5->-1/2, 6->2 , 7->(-2) , 8->3,……. .
Wir haben nun die Menge Y abgezählt und damit eine bijektive Abbildung zu X angegeben.

Leona
Webmaster
Leona

Liebe Maja,
ich glaube, dass du die Abbildung etwas länger auschreiben müsstest, damit wirklich klar wäre wie es weitergeht. Ich gebe gerne zu, dass es sehr schwierig ist hier eine konkrete Abbildung hinzuschreiben.
Hast du dir ein Bild mit den Elementen von \mathbb{Q} gemalt und die Abzählung eingezeichnet?
Ich würde mir tatsächlich noch ein paar Sätze Begründung wünschen, dass diese Abbildung surjektiv ist. Ich bin tatsächlich nicht überzeugt, dass diese Abbildung injektiv ist. Das fällt dir aber bestimmt auf, wenn du etwas mehr zu der Abbildung aufschreibst.

Tatsächlich, wäre es vermutlich gut, wenn du dir die Aufgabenstellung nochmal anguckst. Es ist nicht immer notwendig etwas zu konstruieren, um dessen Existenz zu beweisen. Vielleicht findest du (mit Hilfe der Abbildung, die du gegeben hast oder aus den vorangegangenen Aufgaben) stichhaltige Gründe, warum es eine Bijektion geben muss (dieman aber vielleicht nicht konkret angeben kann oder will).
Liebe Grüße
Leona